Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
21. x^2 d yd x-2 x y=3 y^4, y(1)=12

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x^2dydx-2xy=3y^4, y(1)=12,
que é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Vamos primeiro verificar se ela é exata e, em seguida, usar o método apropriado para resolvê-la.

Passo 2

Para checar exatidão, escrevemos em forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Rearranjando
x^2dydx-2xy-3y^4=0 Longrightarrow (-2xy-3y^4),dx + x^2,dy=0
Aqui M=-2xy-3y^4 e N=x^2. Calculamos
partial Mpartial y=-2x-12y^3, partial Npartial x=2x,
e como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Observamos que dá para dividir tudo por x^2 (assumindo xneq0) e obter o formato de Bernoulli:
dydx-2x,y=3x^2,y^4
Esta é da forma
dydx+P(x),y=Q(x),y^n,
com P(x)=-tfrac2x, Q(x)=tfrac3x^2 e n=4.

Passo 4

Para resolver, fazemos a troca
v=y^1-n=y^1-4=y^-3
Diferenciando,
dvdx=(1-n),y^-ndydx =-3,y^-4dydx
Substituindo dydx da equação original em termos de y, depois de simplificar chegamos a um EDO linear em v:
dvdx-6x,v=-9x^2

Passo 5

Resolvendo essa equação linear, o fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral -tfrac6x,dxr) =x^-6
Multiplicando e integrando, obtemos
ddxl(x^-6vr) =-9,x^-8 Longrightarrow x^-6v=integral -9,x^-8,dx =97,x^-7+C
Logo
v=y^-3 =x^6l(97x^-7+Cr) =97x^-1+C,x^6

Passo 6

Voltando a y e aplicando y(1)=tfrac12, temos
y(1)^-3=8 =97cdot1^-1+Ccdot1^6 =97+C Longrightarrow C=8-97=477
Portanto
y^-3 =97x+477x^6 =9+47x^77x,
e assim
y^3 =7x9+47x^7 Longrightarrow y =l(7x9+47x^7r)^!1/3

Resposta

boxedy(x)=l(7x9+47x^7r)^!1/3

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