Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
21.
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Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Vamos primeiro verificar se ela é exata e, em seguida, usar o método apropriado para resolvê-la.
Passo 2
Para checar exatidão, escrevemos em forma
. Rearranjando
Aqui
e
. Calculamos
e como
, não é exata.
Passo 3
Observamos que dá para dividir tudo por
(assumindo
) e obter o formato de Bernoulli:
Esta é da forma
com
,
e
.
Passo 4
Para resolver, fazemos a troca
Diferenciando,
Substituindo
da equação original em termos de
, depois de simplificar chegamos a um EDO linear em
:
Passo 5
Resolvendo essa equação linear, o fator integrante é
Multiplicando e integrando, obtemos
Logo
Passo 6
Voltando a
e aplicando
, temos
Portanto
e assim