Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y)=x^{3} y^{2}+e^{x y}
Isto é, calcule f_{x x}, f_{x y}, f_{y x} e f_{y y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+e^{xy}
e pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem: f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} e f_{yy}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explícita em x e y.
  • Não há restrição de domínio dada (assume-se domínio onde e^{xy} está bem definida, isto é, todo (x,y)\in\mathbb{R}^2).
  • É necessário calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar, para você conseguir fazer na prova.
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada f_x, é a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante.
  • A derivada parcial em relação a y, f_y, é análoga: varia y e trata x como constante.
Regras que usaremos (explicadas com calma):
  • Regra da potência: se g(x)=x^n, então g'(x)=n x^{n-1}. Aqui vale também quando multiplicamos por uma constante (por exemplo y^2 é constante quando diferenciamos em x).
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)v(x), então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia para exponencial: se h(x)=e^{\varphi(x)}, então h'(x)=\varphi'(x)e^{\varphi(x)}. No nosso caso \varphi(x,y)=xy, então ao derivar em x usamos \partial\varphi/\partial x=y, e ao derivar em y usamos \partial\varphi/\partial y=x.
Exemplo rápido para fixar: se g(x,y)=x^2 y, então \partial g/\partial x=2x y (tratando y como constante).

Passo 3

Calcular f_x (primeira parcial em x), diferenciando termo a termo e mantendo y constante.
A função é soma de dois termos: x^{3}y^{2} e e^{xy}.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então aplica-se a regra da potência a x^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de e^{xy} em relação a x: use regra da cadeia com \varphi(x,y)=xy. Então \partial\varphi/\partial x=y e
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)=y\,e^{xy}.
Somando os dois resultados:
f_x=3x^{2}y^{2}+y\,e^{xy}.

Passo 4

Calcular f_y (primeira parcial em y), diferenciando termo a termo e mantendo x constante.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a y: aqui x^{3} é constante, aplica-se potência a y^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y.
  • Derivada de e^{xy} em relação a y: use regra da cadeia com \partial\varphi/\partial y=x:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)=x\,e^{xy}.
Somando:
f_y=2x^{3}y+x\,e^{xy}.

Passo 5

Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Lembrete importante (teoria que vale na prova): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num ponto (ou numa vizinhança), então os derivadas mistas se igualam: f_{xy}=f_{yx} (teorema de Clairaut). Vamos calcular explicitamente f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} e f_{yy} para ver isso na prática.

Passo 6

Calcular f_{xx} (derivar f_x em relação a x).
Partimos de
f_x=3x^{2}y^{2}+y\,e^{xy}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=6x y^{2}.
  • Derivada de y\,e^{xy} em relação a x: aqui y é constante multiplicativa, então apliquei regra da cadeia apenas em e^{xy}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{xy}\bigr)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)=y\cdot\bigl(y\,e^{xy}\bigr)=y^{2}e^{xy}.
Somando:
f_{xx}=6x y^{2}+y^{2}e^{xy}.

Passo 7

Calcular f_{xy} (derivar f_x em relação a y).
Partimos de
f_x=3x^{2}y^{2}+y\,e^{xy}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y: 3x^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • Derivada de y\,e^{xy} em relação a y: aqui aplica-se a regra do produto (duas funções de y: y e e^{xy}):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr)=1\cdot e^{xy}+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr).
Já sabemos \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)=x\,e^{xy}, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr)=e^{xy}+y\cdot x\,e^{xy}=e^{xy}+x y\,e^{xy}=e^{xy}\bigl(1+xy\bigr).
Somando as partes:
f_{xy}=6x^{2}y+e^{xy}\bigl(1+xy\bigr).

Passo 8

Calcular f_{yx} (derivar f_y em relação a x) e conferir que é igual a f_{xy}.
Partimos de
f_y=2x^{3}y+x\,e^{xy}.
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a x: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}y\bigr)=2\cdot 3x^{2}y=6x^{2}y.
  • Derivada de x\,e^{xy} em relação a x: aplica-se regra do produto (duas funções de x: x e e^{xy}):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr)=1\cdot e^{xy}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr).
E \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)=y\,e^{xy}, logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr)=e^{xy}+x\cdot y\,e^{xy}=e^{xy}+xy\,e^{xy}=e^{xy}\bigl(1+xy\bigr).
Somando:
f_{yx}=6x^{2}y+e^{xy}\bigl(1+xy\bigr).
Observação: vemos explicitamente que f_{xy}=f_{yx}, como esperado.

Passo 9

Calcular f_{yy} (derivar f_y em relação a y).
Partimos de
f_y=2x^{3}y+x\,e^{xy}.
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a y: 2x^{3} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}y\bigr)=2x^{3}.
  • Derivada de x\,e^{xy} em relação a y: x é constante multiplicativa, e \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{xy}\bigr)=x\cdot\bigl(x\,e^{xy}\bigr)=x^{2}e^{xy}.
Somando:
f_{yy}=2x^{3}+x^{2}e^{xy}.

Resposta

f_{xx}=6x y^{2}+y^{2}e^{xy}
f_{xy}=6x^{2}y+e^{xy}\bigl(1+xy\bigr)
f_{yx}=6x^{2}y+e^{xy}\bigl(1+xy\bigr)
f_{yy}=2x^{3}+x^{2}e^{xy}

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