Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Isto é, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é explícita em
e . - Não há restrição de domínio dada (assume-se domínio onde
está bem definida, isto é, todo ). - É necessário calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar devagar, para você conseguir fazer na prova.
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a taxa de variação de quando varia e é mantido constante. - A derivada parcial em relação a
, , é análoga: varia e trata como constante.
Regras que usaremos (explicadas com calma):
- Regra da potência: se
, então . Aqui vale também quando multiplicamos por uma constante (por exemplo é constante quando diferenciamos em ). - Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia para exponencial: se
, então . No nosso caso , então ao derivar em usamos , e ao derivar em usamos .
Exemplo rápido para fixar: se
, então
(tratando
como constante).
Passo 3
Calcular
(primeira parcial em
), diferenciando termo a termo e mantendo
constante.
A função é soma de dois termos: e
.
A função é soma de dois termos:
- Derivada de
em relação a : é constante, então aplica-se a regra da potência a :
- Derivada de
em relação a : use regra da cadeia com . Então e
Somando os dois resultados:
Passo 4
Calcular
(primeira parcial em
), diferenciando termo a termo e mantendo
constante.
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, aplica-se potência a :
- Derivada de
em relação a : use regra da cadeia com :
Somando:
Passo 5
Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Lembrete importante (teoria que vale na prova): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num ponto (ou numa vizinhança), então os derivadas mistas se igualam:
(teorema de Clairaut). Vamos calcular explicitamente
,
,
e
para ver isso na prática.
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : aqui é constante multiplicativa, então apliquei regra da cadeia apenas em :
Somando:
Passo 7
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : aqui aplica-se a regra do produto (duas funções de : e ):
Já sabemos
, então
Somando as partes:
Passo 8
Calcular
(derivar
em relação a
) e conferir que é igual a
.
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : aplica-se regra do produto (duas funções de : e ):
E
, logo
Somando:
Observação: vemos explicitamente que
, como esperado.
Passo 9
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante, então
- Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa, e , então
Somando: