A temperatura de uma chapa metálica plana, em cada ponto (
), é dada pela função
onde
é uma constante.
a) Determine as derivadas parciais
e
.
b) Considere uma partícula situada no ponto ( 1,2 ). Se ela se deslocar no sentido positivo do eixo
, a temperatura aumentará ou diminuirá? Justifique sua resposta.
c) Calcule a taxa de variação da temperatura em relação à variável
, no ponto
.
a) Determine as derivadas parciais
b) Considere uma partícula situada no ponto ( 1,2 ). Se ela se deslocar no sentido positivo do eixo
c) Calcule a taxa de variação da temperatura em relação à variável
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: a temperatura numa chapa é dada por
com
constante.
- Ponto importante presente no enunciado: a partícula está no ponto
.
O enunciado pede três coisas:
a) Determinar as derivadas parciais e
.
b) Na posição , se a partícula se deslocar no sentido positivo do eixo
(ou seja, aumentar
mantendo
fixo), a temperatura aumentará ou diminuirá? Justificar.
c) Calcular a taxa de variação da temperatura em relação à variável no ponto
.
a) Determinar as derivadas parciais
b) Na posição
c) Calcular a taxa de variação da temperatura em relação à variável
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Explicação didática e intuitiva.
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação instantânea de quando mudamos só e mantemos fixo. Intuitivamente, é “a inclinação de ” na direção do eixo . - Formalmente, por definição de derivada parcial:
- De modo análogo,
mede a variação quando se muda só e mantém fixo:
Exemplo rápido e concreto (para fixar a ideia): se
, então ao derivar em relação a
tratamos
como constante e obtemos
. Isso é o mesmo tipo de operação que vamos fazer em seguida.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Partimos de
. - Ao derivar em relação a
mantemos fixo. Assim, é uma constante e sua derivada em relação a é zero. - A derivada de
em relação a é . - Como
é constante multiplicativa, sai fatorado.
Portanto, em forma display:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- A mesma ideia, agora derivando em relação a
e mantendo fixo. - A derivada de
em relação a é ; a de em relação a é zero (pois é tratado como constante). - Multiplica-se por
.
Logo:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Usando os resultados anteriores:
- Observação: como
, temos e .
Passo 6
Responder (b): se a partícula se deslocar no sentido positivo do eixo
em
, a temperatura aumenta ou diminui? Justificativa técnica e intuitiva.
- Deslocar-se no sentido positivo do eixo
significa incrementar (pequeno ) e manter fixo ( ). - A variação aproximada da temperatura para um pequeno
é dada por
- Como
, ao tomar tem-se . Portanto a temperatura aumenta. - Interpretação simples: a função
cresce com , e para um aumento de aumenta , então aumenta .
Passo 7
Responder (c): taxa de variação da temperatura em relação à variável
no ponto
.
- A taxa pedida é precisamente a derivada parcial
, que já calculamos. - Assim, a taxa de variação de
com respeito a em é .
Resposta
a)
e
b) A temperatura aumentará (porque
).
c) A taxa de variação é