A temperatura de uma chapa metálica plana, em cada ponto ( x, y ), é dada pela função
T(x, y)=k\left(x^{2}+y^{2}\right)
onde k>0 é uma constante.
a) Determine as derivadas parciais T_{x}(x, y) e T_{y}(x, y).
b) Considere uma partícula situada no ponto ( 1,2 ). Se ela se deslocar no sentido positivo do eixo x, a temperatura aumentará ou diminuirá? Justifique sua resposta.
c) Calcule a taxa de variação da temperatura em relação à variável x, no ponto (1,2).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: a temperatura numa chapa é dada por T(x,y)=k\left(x^{2}+y^{2}\right),
com k>0 constante.
  • Ponto importante presente no enunciado: a partícula está no ponto (1,2).
O enunciado pede três coisas:
a) Determinar as derivadas parciais T_{x}(x,y) e T_{y}(x,y).
b) Na posição (1,2), se a partícula se deslocar no sentido positivo do eixo x (ou seja, aumentar x mantendo y fixo), a temperatura aumentará ou diminuirá? Justificar.
c) Calcular a taxa de variação da temperatura em relação à variável x no ponto (1,2).

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Explicação didática e intuitiva.
  • A derivada parcial de T em relação a x, escrita T_{x}(x,y), mede a taxa de variação instantânea de T quando mudamos só x e mantemos y fixo. Intuitivamente, é “a inclinação de T” na direção do eixo x.
  • Formalmente, por definição de derivada parcial:
T_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{T(x+h,y)-T(x,y)}{h}.
  • De modo análogo, T_{y}(x,y) mede a variação quando se muda só y e mantém x fixo:
T_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{T(x,y+h)-T(x,y)}{h}.
Exemplo rápido e concreto (para fixar a ideia): se f(x,y)=x^{2}+3y, então ao derivar em relação a x tratamos y como constante e obtemos f_{x}=2x. Isso é o mesmo tipo de operação que vamos fazer em seguida.

Passo 3

Calcular T_{x}(x,y) passo a passo.
  • Partimos de \displaystyle T(x,y)=k\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Ao derivar em relação a x mantemos \,y fixo. Assim, y^{2} é uma constante e sua derivada em relação a x é zero.
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Como k é constante multiplicativa, sai fatorado.
Portanto, em forma display:
T_{x}(x,y)=k\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+k\cdot\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=k\cdot 2x + k\cdot 0 = 2kx.

Passo 4

Calcular T_{y}(x,y) passo a passo.
  • A mesma ideia, agora derivando em relação a y e mantendo x fixo.
  • A derivada de y^{2} em relação a y é 2y; a de x^{2} em relação a y é zero (pois x é tratado como constante).
  • Multiplica-se por k.
Logo:
T_{y}(x,y)=k\cdot 0 + k\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr)=2ky.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,2).
  • Usando os resultados anteriores:
T_{x}(1,2)=2k\cdot 1 = 2k, \qquad T_{y}(1,2)=2k\cdot 2 = 4k.
  • Observação: como k>0, temos T_{x}(1,2)=2k>0 e T_{y}(1,2)=4k>0.

Passo 6

Responder (b): se a partícula se deslocar no sentido positivo do eixo x em (1,2), a temperatura aumenta ou diminui? Justificativa técnica e intuitiva.
  • Deslocar-se no sentido positivo do eixo x significa incrementar x (pequeno \Delta x>0) e manter y fixo ( \Delta y=0).
  • A variação aproximada da temperatura para um pequeno \Delta x é dada por
\Delta T \approx T_{x}(1,2)\,\Delta x.
  • Como T_{x}(1,2)=2k>0, ao tomar \Delta x>0 tem-se \Delta T>0. Portanto a temperatura aumenta.
  • Interpretação simples: a função T(x,y)=k(x^{2}+y^{2}) cresce com x^{2}, e para x>0 um aumento de x aumenta x^{2}, então aumenta T.

Passo 7

Responder (c): taxa de variação da temperatura em relação à variável x no ponto (1,2).
  • A taxa pedida é precisamente a derivada parcial T_{x}(1,2), que já calculamos.
  • Assim, a taxa de variação de T com respeito a x em (1,2) é 2k.

Resposta

a) T_{x}(x,y)=2kx \quad e \quad T_{y}(x,y)=2ky
b) A temperatura aumentará (porque T_{x}(1,2)=2k>0).
c) A taxa de variação é T_{x}(1,2)=2k

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