Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo envolve regra do produto, regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem
e
, depois derivar novamente para achar
.
Passo 2
Calcular
e
:
Como
aparece apenas num fator multiplicativo em
,
Para
, trate
como constante e aplique produto em
. Seja
Então
Logo
Passo 3
Calcular
e
:
Diferenciando
em relação a
(onde
é constante),
Diferenciando
em relação a
,
Passo 4
Calcular
e
:
Como
e
, vem
confirmando a igualdade das mistas mistas sob certa regularidade.
Para
, diferenciamos
Já sabemos
Assim