Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f(x, y)=x y \operatorname{tg}\left(y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x\,y\,\tan\bigl(y^{2}\bigr).
O conteúdo envolve regra do produto, regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas. Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem f_x e f_y, depois derivar novamente para achar f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}.

Passo 2

Calcular f_x e f_y:
Como x aparece apenas num fator multiplicativo em f,
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,\tan(y^2)\bigr) =y\,\tan\bigl(y^2\bigr).
Para f_y, trate x como constante e aplique produto em y\cdot\tan(y^2). Seja
g(y)=y\,\tan(y^2).
Então
g'(y) =\tan(y^2) +y\cdot\operatorname{sec}^2(y^2)\cdot2y =\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2).
Logo
f_y =x\;g'(y) =x\bigl[\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2)\bigr].

Passo 3

Calcular f_{xx} e f_{xy}:
Diferenciando f_x=y\tan(y^2) em relação a x (onde y é constante),
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\tan(y^2)\bigr) =0.
Diferenciando f_x em relação a y,
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\tan(y^2)\bigr) =\tan(y^2) +y\cdot\operatorname{sec}^2(y^2)\cdot2y =\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2).

Passo 4

Calcular f_{yx} e f_{yy}:
Como f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y) e f_y=x[\cdots], vem
f_{yx} =\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2) =f_{xy},
confirmando a igualdade das mistas mistas sob certa regularidade.
Para f_{yy}, diferenciamos
h(y)=\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2).
Já sabemos
h'(y) =2y\operatorname{sec}^2(y^2) +4y\operatorname{sec}^2(y^2) +8y^3\operatorname{sec}^2(y^2)\tan(y^2) =6y\operatorname{sec}^2(y^2)+8y^3\operatorname{sec}^2(y^2)\tan(y^2).
Assim
f_{yy} =x\,h'(y) =x\bigl[6y\operatorname{sec}^2(y^2)+8y^3\operatorname{sec}^2(y^2)\tan(y^2)\bigr].

Resposta

f_{xx}=0
f_{xy}=f_{yx}=\tan(y^2)+2y^2\operatorname{sec}^2(y^2)
f_{yy} =x\bigl[6y\operatorname{sec}^2(y^2)+8y^3\operatorname{sec}^2(y^2)\tan(y^2)\bigr].

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