Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, usando regra da potência e tratando cada variável isoladamente.
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem, isto é
e
.
Para mantemos
constante e aplicamos a regra da potência em
e em
:
Para
Para
mantemos
constante e aplicamos a regra da potência em
e em
:
Passo 3
Agora obtemos
derivando
em relação a
, com
constante:
Passo 4
Para a derivada mista
derivamos
em relação a
:
Verificamos que derivando
em relação a
também dá
ou seja,
.
Passo 5
Finalmente, para
derivamos
em relação a
, com
constante: