Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f(x, y)=\sqrt[3]{x}+y^{3}-x^{2} y^{-2}

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^{\frac13}+y^3 - x^2y^{-2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, usando regra da potência e tratando cada variável isoladamente.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem, isto é f_x e f_y.
Para f_x mantemos y constante e aplicamos a regra da potência em x^{1/3} e em -x^2y^{-2}:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{\tfrac13}+y^3 - x^2y^{-2}\bigr) = \frac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}} -2x\,y^{-2}.
Para f_y mantemos x constante e aplicamos a regra da potência em y^3 e em -x^2y^{-2}:
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{\tfrac13}+y^3 - x^2y^{-2}\bigr) = 3y^2 + 2x^2\,y^{-3}.

Passo 3

Agora obtemos f_{xx} derivando f_x em relação a x, com y constante:
f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}} -2x\,y^{-2}\Bigr) = \frac{1}{3}\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)x^{-\tfrac{5}{3}} -2y^{-2} = -\frac{2}{9}x^{-\tfrac{5}{3}} -2y^{-2}.

Passo 4

Para a derivada mista f_{xy} derivamos f_x em relação a y:
f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}} -2x\,y^{-2}\Bigr) = -2x\cdot\bigl(-2\bigr)y^{-3} = 4x\,y^{-3}.
Verificamos que derivando f_y em relação a x também dá
f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^2 + 2x^2y^{-3}\bigr) = 4x\,y^{-3},
ou seja, f_{xy}=f_{yx}=4x\,y^{-3}.

Passo 5

Finalmente, para f_{yy} derivamos f_y em relação a y, com x constante:
f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^2 + 2x^2y^{-3}\bigr) = 6y + 2x^2\cdot(-3)y^{-4} = 6y -6x^2y^{-4}.

Resposta

f_{xx}(x,y) = -\dfrac{2}{9}x^{-\tfrac{5}{3}} -2y^{-2}.
f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = 4x\,y^{-3}.
f_{yy}(x,y) = 6y -6x^2y^{-4}.

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