Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f(x, y)=e^{\left(x^{2}+4 y\right)}+4 x^{2}+x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{\bigl(x^{2}+4y\bigr)} \;+\;4x^{2}\;+\;x\,y.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia para exponenciais e derivação de soma de termos polinomiais. Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, e em seguida derivamos novamente para obter \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} e \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, derivamos termo a termo:
  • Derivada de e^{(x^{2}+4y)} em relação a x: pela regra da cadeia vem 2x\,e^{(x^{2}+4y)}.
  • Derivada de 4x^{2} em relação a x: 8x.
  • Derivada de x\,y em relação a x: y.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,e^{x^{2}+4y}+8x+y.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, derivamos termo a termo:
  • Derivada de e^{(x^{2}+4y)} em relação a y: pela regra da cadeia vem 4\,e^{(x^{2}+4y)}.
  • Derivada de 4x^{2} em relação a y: 0.
  • Derivada de x\,y em relação a y: x.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =4\,e^{x^{2}+4y}+x.

Passo 4

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x} em relação a x para obter \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.
Na expressão 2x\,e^{x^{2}+4y}+8x+y:
  • A derivada de 2x\,e^{x^{2}+4y} em x é
    2\,e^{x^{2}+4y} + 2x\cdot(2x\,e^{x^{2}+4y}) =\bigl(2+4x^{2}\bigr)e^{x^{2}+4y}.
  • A derivada de 8x em x é 8.
  • A derivada de y em x é 0.
Assim,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =(4x^{2}+2)\,e^{x^{2}+4y}+8.

Passo 5

Derivamos \frac{\partial f}{\partial y} em relação a y para achar \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
Da expressão 4\,e^{x^{2}+4y}+x:
  • A derivada de 4\,e^{x^{2}+4y} em y é 4\cdot4\,e^{x^{2}+4y}=16\,e^{x^{2}+4y}.
  • A derivada de x em y é 0.
Portanto,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =16\,e^{x^{2}+4y}.

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada mista \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} derivando \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y.
Da expressão 2x\,e^{x^{2}+4y}+8x+y:
  • A derivada de 2x\,e^{x^{2}+4y} em y é 2x\cdot4\,e^{x^{2}+4y}=8x\,e^{x^{2}+4y}.
  • A derivada de 8x em y é 0.
  • A derivada de y em y é 1.
Logo,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} =8x\,e^{x^{2}+4y}+1.
Pela igualdade das derivadas mistas contínuas, temos também
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} =8x\,e^{x^{2}+4y}+1.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =(4x^{2}+2)\,e^{x^{2}+4y}+8,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} =8x\,e^{x^{2}+4y}+1,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =16\,e^{x^{2}+4y}.

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