Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia para exponenciais e derivação de soma de termos polinomiais. Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem
e
, e em seguida derivamos novamente para obter
,
e
.
Passo 2
Para calcular
, derivamos termo a termo:
- Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia vem . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Portanto,
Passo 3
Para calcular
, derivamos termo a termo:
- Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia vem . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Logo,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para obter
.
Na expressão :
Na expressão
- A derivada de
em é
- A derivada de
em é . - A derivada de
em é .
Assim,
Passo 5
Derivamos
em relação a
para achar
.
Da expressão :
Da expressão
- A derivada de
em é . - A derivada de
em é .
Portanto,
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada mista
derivando
em relação a
.
Da expressão :
Da expressão
- A derivada de
em é - A derivada de
em é . - A derivada de
em é .
Logo,
Pela igualdade das derivadas mistas contínuas, temos também