(Vale: 1,5 ) Uma superfície inclinada é dada por:
f(x, y)=x^{2} y+y^{3}
(a) Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y)
(b) Calcule o vetor gradiente no ponto (2,1).
(c) Qual é a direção de maior crescimento da função naquele ponto?
(d) Em qual direção a água escoaria?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+y^{3}
e pede (a) o gradiente \nabla f(x,y), (b) seu valor em (2,1), (c) a direção de maior crescimento naquele ponto e (d) por qual direção a água escoaria. Vamos usar definição de derivadas parciais, norma de vetor e o fato de que o gradiente aponta na direção de máxima subida (e seu negativo na de descida).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+y^{3}\bigr) =2xy
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+y^{3}\bigr) =x^{2}+3y^{2}
Logo, o gradiente é
\label{gradiente} \nabla f(x,y)=\bigl(2xy,\;x^{2}+3y^{2}\bigr).

Passo 3

Para (x,y)=(2,1), substituímos em \eqref{gradiente}:
\nabla f(2,1) =\bigl(2\cdot2\cdot1,\;2^{2}+3\cdot1^{2}\bigr) =(4,\;4+3) =(4,7).

Passo 4

A direção de maior crescimento é a direção de \nabla f(2,1). O vetor unitário correspondente é
\frac{\nabla f(2,1)}{\|\nabla f(2,1)\|} =\frac{1}{\sqrt{4^{2}+7^{2}}}\,(4,7) =\frac{1}{\sqrt{65}}\,(4,7).

Passo 5

A água escoa na direção de maior descida, que é o negativo do gradiente. O vetor unitário dessa direção é
-\frac{\nabla f(2,1)}{\|\nabla f(2,1)\|} =-\frac{1}{\sqrt{65}}\,(4,7).

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=(2xy,\;x^{2}+3y^{2}).
(b) \nabla f(2,1)=(4,7).
(c) Direção de maior crescimento: \displaystyle\frac{1}{\sqrt{65}}\,(4,7).
(d) Direção de escoamento da água: \displaystyle-\frac{1}{\sqrt{65}}\,(4,7).

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