(Vale: 1,5 ) Uma superfície inclinada é dada por:
(a) Encontre o vetor gradiente
(b) Calcule o vetor gradiente no ponto
.
(c) Qual é a direção de maior crescimento da função naquele ponto?
(d) Em qual direção a água escoaria?
(b) Calcule o vetor gradiente no ponto
(c) Qual é a direção de maior crescimento da função naquele ponto?
(d) Em qual direção a água escoaria?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) o gradiente
, (b) seu valor em
, (c) a direção de maior crescimento naquele ponto e (d) por qual direção a água escoaria. Vamos usar definição de derivadas parciais, norma de vetor e o fato de que o gradiente aponta na direção de máxima subida (e seu negativo na de descida).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo, o gradiente é
Passo 3
Para
, substituímos em
:
Passo 4
A direção de maior crescimento é a direção de
. O vetor unitário correspondente é
Passo 5
A água escoa na direção de maior descida, que é o negativo do gradiente. O vetor unitário dessa direção é
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Direção de maior crescimento: .
(d) Direção de escoamento da água: .
(b)
(c) Direção de maior crescimento:
(d) Direção de escoamento da água: