(Vale: 1,0 ) Determine \frac{\partial z}{\partial x}.
\cos (x y z)=1+x^{2} y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x,y e z pela equação
\cos(xyz)=1+x^{2}y^{2}+z^{2}
e pede \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. O conteúdo é diferenciação implícita, onde vamos tratar y como constante e diferenciar ambos os lados em relação a x.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=\cos(xyz)-1-x^{2}y^{2}-z^{2},
de modo que a condição é F(x,y,z)=0. Pela regra da diferenciação implícita, temos
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de F em relação a x. Como
\frac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\,u', e lembrando u=xyz com y constante e z=z(x,y), temos
F_x =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\cos(xyz)\bigr] -\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^{2}y^{2}+z^{2}\bigr] =-\sin(xyz)\,(yz) -2x\,y^{2}.

Passo 4

Agora a derivada parcial de F em relação a z:
F_z =\frac{\partial}{\partial z}\bigl[\cos(xyz)\bigr] -\frac{\partial}{\partial z}\bigl[x^{2}y^{2}+z^{2}\bigr] =-\sin(xyz)\,(xy) -2z.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{-\sin(xyz)\,yz-2x\,y^{2}}{-\sin(xyz)\,xy-2z} =\frac{\sin(xyz)\,y z+2x\,y^{2}} {\sin(xyz)\,x y+2z}.

Resposta

\boxed{ \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\sin(xyz)\,y z+2x\,y^{2}} {\sin(xyz)\,x y+2z} }

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