Estude a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n nn^2+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+n . Isso está dentro do tópico de séries infinitas e análise de convergência. Para resolver, vamos precisar entender os testes de convergência, especialmente o teste da série alternada. Então, vamos passo a passo descobrir se essa série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos aqui. A série é alternada porque o termo (-1)^n faz com que o sinal dos termos alterne entre positivo e negativo conforme n aumenta. Esse tipo de série pode ser testado usando o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n bn converge se:
  1. Os termos bn são positivos.
  2. A sequência bn é monótona decrescente.
  3. limn to infty bn = 0 .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos bn . Na nossa série, bn = nn^2+n . Vamos checar se bn é positivo. Como n é positivo para todos os termos da série, bn > 0 para todo n .

Passo 5

Agora, vamos ver se bn é uma sequência decrescente. Para isso, vamos analisar a derivada de bn com relação a n :
bn = nn^2 + n = 1n + 1
É fácil ver que conforme n aumenta, bn diminui, ou seja, bn é decrescente.

Passo 6

Por último, vamos calcular o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty nn^2 + n = limn to infty 1n + 1 = 0
Então, limn to infty bn = 0 .

Resposta

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+n converge.

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