Estude a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da série
. Isso está dentro do tópico de séries infinitas e análise de convergência. Para resolver, vamos precisar entender os testes de convergência, especialmente o teste da série alternada. Então, vamos passo a passo descobrir se essa série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos aqui. A série é alternada porque o termo
faz com que o sinal dos termos alterne entre positivo e negativo conforme
aumenta. Esse tipo de série pode ser testado usando o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é monótona decrescente. -
.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos
. Na nossa série,
. Vamos checar se
é positivo. Como
é positivo para todos os termos da série,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é uma sequência decrescente. Para isso, vamos analisar a derivada de
com relação a
:
É fácil ver que conforme
aumenta,
diminui, ou seja,
é decrescente.
Passo 6
Por último, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então,
.
Resposta
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série
converge.