Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
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Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = \frac{x - y}{x y} $. Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais. Vamos precisar calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $, e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como constante.
A função é:
Podemos simplificar $ v $ antes de derivar:
Agora, derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ \frac{\partial v}{\partial x} $ novamente em relação a $ x $ para obter $ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} $:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, isto é, $ \frac{\partial v}{\partial y} $. Novamente, tratamos $ x $ como constante.
A função simplificada é:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ novamente em relação a $ y $ para obter $ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} $:
Passo 6
Por último, vamos calcular as derivadas parciais mistas, ou seja, derivar $ \frac{\partial v}{\partial x} $ em relação a $ y $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ x $.
Primeiro, derivando $ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{x^2} $ em relação a $ y $:
Segundo, derivando $ \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} $ em relação a $ x $:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = \frac{x - y}{x y} $ são: