Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
v=x-yx y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = \frac{x - y}{x y} $. Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais. Vamos precisar calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $, e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como constante.
A função é:
v
Podemos simplificar $ v $ antes de derivar:
x
Agora, derivando em relação a $ x $:
partial vpartial x

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \frac{\partial v}{\partial x} $ novamente em relação a $ x $ para obter $ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} $:
partial vpartial x

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, isto é, $ \frac{\partial v}{\partial y} $. Novamente, tratamos $ x $ como constante.
A função simplificada é:
v
Derivando em relação a $ y $:
y

Passo 5

Agora, vamos derivar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ novamente em relação a $ y $ para obter $ \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} $:
partial vpartial y

Passo 6

Por último, vamos calcular as derivadas parciais mistas, ou seja, derivar $ \frac{\partial v}{\partial x} $ em relação a $ y $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ x $.
Primeiro, derivando $ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{x^2} $ em relação a $ y $:
partial vpartial x
Segundo, derivando $ \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{y^2} $ em relação a $ x $:
y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = \frac{x - y}{x y} $ são:
v = x - yx y
partial^2 vpartial x^2 = -2x^3
partial^2 vpartial y^2 = 2y^3

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