Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
f(x, y)=x y^2x+2 y,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = x y^2x + 2 y . Além disso, temos que verificar o Teorema de Clairaut para essa função. Esse teorema basicamente diz que, se a função tiver derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então as derivadas mistas são iguais, ou seja, fxy = fyx . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente e entender bem como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a x , ou seja, fx . Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uv , a derivada é u'v - uv'v^2 .
Aqui, u = x y^2 e v = x + 2 y .
Calculando u' em relação a x :
u' = y^2
Calculando v' em relação a x :
v' = 1
Aplicando a regra do quociente:
fx = y^2(x + 2 y) - x y^2(1)(x + 2 y)^2
fx = y^2x + 2 y^3 - x y^2(x + 2 y)^2
fx = 2 y^3(x + 2 y)^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a y , ou seja, fy . Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .
Usando novamente a regra do quociente, temos:
u = x y^2 e v = x + 2 y .
Calculando u' em relação a y :
u' = 2 x y
Calculando v' em relação a y :
v' = 2
Aplicando a regra do quociente:
fy = 2 x y (x + 2 y) - x y^2(2)(x + 2 y)^2
fy = 2 x^2 y + 4 x y^2 - 2 x y^2(x + 2 y)^2
fy = 2 x^2 y + 2 x y^2(x + 2 y)^2
fy = 2 x y (x + y)(x + 2 y)^2

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a .
Temos:
Usaremos a regra do quociente novamente. Aqui, e .
Calculando em relação a :
v’ = 2(x + 2 y) \cdot 1 = 2(x + 2 y)
f_{xx} = \frac{0 \cdot (x + 2 y)^2 - 2 y^{3} \cdot 2(x + 2 y)}{(x + 2 y)^4}
f_{xx} = \frac{-4 y^{3}(x + 2 y)}{(x + 2 y)^4}
f_{xx} = \frac{-4 y^{3}}{(x + 2 y)^3} $$

Passo 5

Agora, vamos encontrar fxy , que é a derivada de fx em relação a y .
Lembrando:
fx = 2 y^3(x + 2 y)^2
Usaremos a regra do quociente. Aqui, u = 2 y^3 e v = (x + 2 y)^2 .
Calculando u' em relação a y :
u' = 6 y^2
Calculando v' em relação a y :
v' = 2(x + 2 y) cdot 2 = 4(x + 2 y)
Aplicando a regra do quociente:
fxy = 6 y^2(x + 2 y)^2 - 2 y^3 cdot 4(x + 2 y)(x + 2 y)^4
fxy = 6 y^2(x + 2 y) - 8 y^3(x + 2 y)^3
fxy = 6 x y^2 + 12 y^3 - 8 y^3(x + 2 y)^3
fxy = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3

Passo 6

Vamos encontrar fyy , que é a derivada de fy em relação a y .
Temos:
fy = 2 x y (x + y)(x + 2 y)^2
Vamos expandir antes para facilitar a derivação:
fy = 2 x y x + 2 x y^2(x + 2 y)^2
fy = 2 x^2 y + 2 x y^2(x + 2 y)^2
Agora, aplicamos a regra do quociente. Aqui, u = 2 x^2 y + 2 x y^2 e v = (x + 2 y)^2 .
Calculando u' em relação a y :
u' = 2 x^2 + 4 x y
Calculando v' em relação a y :
v' = 4(x + 2 y)
Aplicando a regra do quociente:
fyy = (2 x^2 + 4 x y)(x + 2 y)^2 - (2 x^2 y + 2 x y^2) cdot 4(x + 2 y)(x + 2 y)^4
Isso pode ser simplificado, mas para mantermos clareza, vamos deixar assim ou simplificar parcialmente:
fyy = 2 x^2 (x + 2 y)^2 + 4 x y (x + 2 y)^2 - 8 x^2 y (x + 2 y) - 8 x y^2 (x + 2 y)(x + 2 y)^4
fyy = 2 x^2 + 4 x y - 8 x^2 y - 8 x y^2(x + 2 y)^3

Passo 7

Agora, vamos encontrar fyx , que é a derivada de fy em relação a x .
Lembrando:
fy = 2 x y (x + y)(x + 2 y)^2
Podemos usar a regra do quociente novamente. Aqui, u = 2 x y (x + y) e v = (x + 2 y)^2 .
Calculando u' em relação a x :
Primeiro, expandimos u :
u = 2 x^2 y + 2 x y^2
u' = 4 x y + 2 y^2
Calculando v' em relação a x :
v' = 2(x + 2 y)
Aplicando a regra do quociente:
fyx = (4 x y + 2 y^2)(x + 2 y)^2 - (2 x^2 y + 2 x y^2) cdot 2(x + 2 y)(x + 2 y)^4
fyx = (4 x y + 2 y^2)(x + 2 y) - 4 x^2 y - 4 x y^2(x + 2 y)^3
fyx = 4 x^2 y + 8 x y^2 + 2 x y^2 + 4 y^3 - 4 x^2 y - 4 x y^2(x + 2 y)^3
fyx = (4 x^2 y - 4 x^2 y) + (8 x y^2 + 2 x y^2 - 4 x y^2) + 4 y^3 (x + 2 y)^3
fyx = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos verificar o Teorema de Clairaut, que afirma que fxy = fyx , desde que as derivadas parciais de segunda ordem sejam contínuas.
Olhemos para as expressões que encontramos:
fxy = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3
fyx = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3
Vemos que fxy é igual a fyx , então o Teorema de Clairaut está válido para essa função.

Resposta

Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = x y^2x + 2 y são:
fxx = -4 y^3(x + 2 y)^3, fxy = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3, fyx = 6 x y^2 + 4 y^3(x + 2 y)^3, fyy = 2 x^2 + 4 x y - 8 x^2 y - 8 x y^2(x + 2 y)^3
Além disso, verificamos que fxy = fyx , confirmando o Teorema de Clairaut para esta função.

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