Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A gente precisa determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Além disso, temos que verificar o Teorema de Clairaut para essa função. Esse teorema basicamente diz que, se a função tiver derivadas parciais contínuas de segunda ordem, então as derivadas mistas são iguais, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do quociente e entender bem como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
Calculando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Usando novamente a regra do quociente, temos:
Calculando
em relação a
:
Calculando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Temos:
Usaremos a regra do quociente novamente. Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
v’ = 2(x + 2 y) \cdot 1 = 2(x + 2 y)
f_{xx} = \frac{0 \cdot (x + 2 y)^2 - 2 y^{3} \cdot 2(x + 2 y)}{(x + 2 y)^4}
f_{xx} = \frac{-4 y^{3}}{(x + 2 y)^3} $$
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando:
Usaremos a regra do quociente. Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
Calculando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Temos:
Vamos expandir antes para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra do quociente. Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
Calculando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Isso pode ser simplificado, mas para mantermos clareza, vamos deixar assim ou simplificar parcialmente:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando:
Podemos usar a regra do quociente novamente. Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
Primeiro, expandimos :
Primeiro, expandimos
Calculando
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos verificar o Teorema de Clairaut, que afirma que
, desde que as derivadas parciais de segunda ordem sejam contínuas.
Olhemos para as expressões que encontramos:
Vemos que
é igual a
, então o Teorema de Clairaut está válido para essa função.
Resposta
Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Além disso, verificamos que
, confirmando o Teorema de Clairaut para esta função.