Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
w = raiz(u^2 + v^2)

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo de funções de várias variáveis, onde a gente precisa encontrar como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis, nesse caso, e . Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e, depois, aplicar essas técnicas para encontrar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de em relação a . A derivada parcial nos mostra como muda quando variamos enquanto mantemos constante. A função é , então usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . De forma similar ao que fizemos com , derivamos em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a , ou seja, derivar novamente em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada mista, ou seja, derivar em relação a :

Passo 6

Por último, encontramos a derivada segunda em relação a , derivando novamente em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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