Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo de funções de várias variáveis, onde a gente precisa encontrar como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis, nesse caso,
e
. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e, depois, aplicar essas técnicas para encontrar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial nos mostra como
muda quando variamos
enquanto mantemos
constante. A função
é
, então usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. De forma similar ao que fizemos com
, derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a
, ou seja, derivar
novamente em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada mista, ou seja, derivar
em relação a
:
Passo 6
Por último, encontramos a derivada segunda em relação a
, derivando
novamente em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: