Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função
u(x, t) = f(x + a t) + g(x - a t)
é solução da equação de onda dada no Exercício 78.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função resolve a equação de onda. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente as equações diferenciais parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então verificar se elas satisfazem a equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação ao tempo . Lembre-se que, quando temos funções compostas como e , usamos a regra da cadeia.
Aqui, e representam as derivadas de e em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo .
Da mesma forma, e são as segundas derivadas de e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação ao espaço .
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

A equação de onda geral é dada por:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
Vendo que os dois lados da equação são iguais, confirmamos que a função realmente satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função é solução da equação de onda.

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