Se
e
são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função
é solução da equação de onda dada no Exercício 78.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
resolve a equação de onda. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente as equações diferenciais parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então verificar se elas satisfazem a equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo
. Lembre-se que, quando temos funções compostas como
e
, usamos a regra da cadeia.
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação ao seu argumento.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
Da mesma forma,
e
são as segundas derivadas de
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao espaço
.
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
A equação de onda geral é dada por:
Vamos substituir as derivadas que calculamos:
Vendo que os dois lados da equação são iguais, confirmamos que a função
realmente satisfaz a equação de onda.
Resposta
A função
é solução da equação de onda.