Determine todas as funções f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tais que:
\frac{\partial f}{\partial x}=y \cos x y+3 x^{2}-y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x \cos x y-x+3 y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} cujas derivadas parciais valem
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cos(xy)+3x^2 - y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(xy)-x+3y^2.
O conteúdo é achar uma potencial integrando uma das derivadas parciais e ajustando com a outra.

Passo 2

Integramos \partial f/\partial x em relação a x, tratando y como constante:
\int\bigl(y\cos(xy)+3x^2 - y\bigr)\,dx =\int y\cos(xy)\,dx+\int3x^2\,dx-\int y\,dx.
Como \int y\cos(xy)\,dx = \sin(xy), \int3x^2\,dx = x^3 e \int y\,dx = xy, obtemos
f(x,y)=\sin(xy)+x^3 - x\,y + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Para determinar g(y), calculamos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)+x^3 - x\,y + g(y)\bigr) =x\cos(xy)-x+g'(y).
Igualando ao valor dado \partial f/\partial y = x\cos(xy)-x+3y^2 segue
g'(y)=3y^2.

Passo 4

Integramos g'(y)=3y^2 em relação a y:
g(y)=\int3y^2\,dy = y^3 + C,
onde C é constante. Portanto a função geral é
f(x,y)=\sin(xy)+x^3 - x\,y + y^3 + C.

Resposta

A família de soluções é
\boxed{f(x,y)=\sin(xy)+x^3+y^3 - x\,y + C,\quad C\in\mathbb{R}.}

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