Existe função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que
\nabla f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}+1, x^{2}-y^{2}+1\right)
para todo (x, y) em \mathbb{R}^{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} cuja gradiente seja
\nabla f(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad P(x,y)=x^2+y^2+1, \;Q(x,y)=x^2-y^2+1.
O conteúdo aqui é de campos vetoriais conservativos: num domínio simplesmente conectado (como \mathbb{R}^2), um campo (P,Q) é gradiente de alguma f se, e somente se, satisfaça a igualdade das derivadas cruzadas \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

Passo 2

Anotamos a condição de conservatividade:
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 3

Vamos calcular cada uma:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2+y^2+1\bigr) =2y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2-y^2+1\bigr) =2x.
Em geral 2y\neq2x, logo a igualdade não vale para todos (x,y).

Passo 4

Como a condição necessária (e suficiente em \mathbb{R}^2) falha, o campo (P,Q) não é conservativo. Portanto não existe nenhuma função f em todo \mathbb{R}^2 com esse gradiente.

Resposta

Não existe tal função f.

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