Existe função
tal que
para todo
em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma função
cuja gradiente seja
O conteúdo aqui é de campos vetoriais conservativos: num domínio simplesmente conectado (como
), um campo
é gradiente de alguma
se, e somente se, satisfaça a igualdade das derivadas cruzadas
.
Passo 2
Anotamos a condição de conservatividade:
Passo 3
Vamos calcular cada uma:
Em geral
, logo a igualdade não vale para todos
.
Passo 4
Como a condição necessária (e suficiente em
) falha, o campo
não é conservativo. Portanto não existe nenhuma função
em todo
com esse gradiente.
Resposta
Não existe tal função
.