Determine todas as funções f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tais que:
\frac{\partial f}{\partial x}=2 x e^{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2 y e^{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma função f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}.
O conteúdo é reconhecer que essas derivadas parciais vêm de uma única função f e então integrar cada uma delas, introduzindo uma “constante de integração” que pode depender da outra variável.

Passo 2

Integramos \partial f/\partial x em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y) =\int 2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dx + g(y).
Fazendo a substituição u=x^2+y^2, temos du=2x\,dx, logo
\int 2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dx =\int e^{u}\,du =e^{u} =e^{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 3

Agora calculamos \partial f/\partial y a partir de f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}+g(y):
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr)+g'(y) =2y\,e^{x^{2}+y^{2}}+g'(y).
Como sabemos que esse resultado deve ser
\,2y\,e^{x^{2}+y^{2}}+\tfrac{1}{1+y^{2}},
igualamos:
2y\,e^{x^{2}+y^{2}}+g'(y) =2y\,e^{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}} \;\;\Longrightarrow\;\; g'(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.

Passo 4

Integramos g'(y)=1/(1+y^{2}) em relação a y:
g(y)=\int \frac{1}{1+y^{2}}\,dy =\arctan(y)+C,
onde C é constante real.

Resposta

\boxed{ f(x,y) =e^{x^{2}+y^{2}}+\arctan(y)+C, }
com C\in\mathbb{R}.

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