Determine todas as funções
que satisfaçam a equação:
para todo
. Dica: isole uma integral e derive a equação em relação à variável
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as funções
que satisfazem a equação:
Esse problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente envolvendo integrais indefinidas. Para resolver, vamos seguir a dica: isolar uma das integrais e derivar a equação em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Seja:
Então, a equação dada fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembrando que a derivada de um produto de duas funções
e
é dada pela regra do produto:
Aplicando isso à nossa equação:
Passo 4
Sabemos que
é a derivada de
, que é
, e
é a derivada de
, que é
. Substituindo na equação:
Vamos rearranjar:
Passo 5
Lembrando da equação original
, podemos substituir
por
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Ou seja:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Vamos analisar as duas possibilidades:
- Caso
:
Diferenciando ambos os lados:
A equação diferencial
tem solução geral:
- Caso
:
Diferenciando ambos os lados:
A equação diferencial
tem solução geral:
Passo 7
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções satisfaz a equação original
.
Para
:
Multiplicando
e
:
O que satisfaz a equação original.
Já para
:
Multiplicando
e
:
Também satisfaz a equação original.
Resposta
As funções que satisfazem a equação são todas as funções da forma
ou
, onde
é uma constante diferente de zero.