Determine todas as funções f(x) que satisfaçam a equação:
[integral f(x) d x][integral 1f(x) d x]=-1
para todo x in R. Dica: isole uma integral e derive a equação em relação à variável x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as funções f(x) que satisfazem a equação:
[integral f(x) , dx] [integral 1f(x) , dx] = -1
Esse problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente envolvendo integrais indefinidas. Para resolver, vamos seguir a dica: isolar uma das integrais e derivar a equação em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Seja:
A(x) = integral f(x) , dx e B(x) = integral 1f(x) , dx
Então, a equação dada fica:
A(x) cdot B(x) = -1

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x . Lembrando que a derivada de um produto de duas funções A(x) e B(x) é dada pela regra do produto:
ddx[A(x)B(x)] = A'(x)B(x) + A(x)B'(x)
Aplicando isso à nossa equação:
A'(x) cdot B(x) + A(x) cdot B'(x) = 0

Passo 4

Sabemos que A'(x) é a derivada de A(x) , que é f(x) , e B'(x) é a derivada de B(x) , que é 1f(x) . Substituindo na equação:
f(x) cdot B(x) + A(x) cdot 1f(x) = 0
Vamos rearranjar:
f(x) cdot B(x) = -A(x)f(x)

Passo 5

Lembrando da equação original A(x) cdot B(x) = -1 , podemos substituir B(x) por -1A(x) :
f(x) cdot (-1A(x)) = -A(x)f(x)
Simplificando:
-f(x)A(x) = -A(x)f(x)
Multiplicando ambos os lados por A(x) cdot f(x) para eliminar as frações:
-f(x)^2 = -A(x)^2
Ou seja:
A(x)^2 = f(x)^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
A(x) = pm f(x)

Passo 6

Vamos analisar as duas possibilidades:
  1. Caso A(x) = f(x) :
integral f(x) , dx = f(x)
Diferenciando ambos os lados:
f(x) = f'(x)
A equação diferencial f'(x) = f(x) tem solução geral:
f(x) = C e^x
  1. Caso A(x) = -f(x) :
integral f(x) , dx = -f(x)
Diferenciando ambos os lados:
f(x) = -f'(x)
A equação diferencial f'(x) = -f(x) tem solução geral:
f(x) = C e^-x

Passo 7

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções satisfaz a equação original A(x) cdot B(x) = -1 .
Para f(x) = C e^x :
A(x) = integral C e^x , dx = C e^x + D
B(x) = integral 1C e^x , dx = 1C (-e^-x) + K
Multiplicando A(x) e B(x) :
(C e^x)(-1C e^-x) = -1
O que satisfaz a equação original.
Já para f(x) = C e^-x :
A(x) = integral C e^-x , dx = -C e^-x + D
B(x) = integral 1C e^-x , dx = 1C e^x + K
Multiplicando A(x) e B(x) :
(-C e^-x)(1C e^x) = -1
Também satisfaz a equação original.

Resposta

As funções que satisfazem a equação são todas as funções da forma f(x) = C e^x ou f(x) = C e^-x , onde C é uma constante diferente de zero.

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