Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
x^3-6 raizx^3+5=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
x^3 - 6raizx^3 + 5 = 0
Observe que o radical raizx^3 só é real se x^3>=0, ou seja, x>=0. Vamos fazer a mudança de variável
t = raizx^3 = x^3/2, t>=0

Passo 2

Como t = x^3/2, temos t^2 = x^3. Substituindo na equação original:
x^3 - 6raizx^3 + 5 = 0 Longrightarrow t^2 - 6t + 5 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em t,
t^2 - 6t + 5 = 0 Longrightarrow t = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot1cdot52 = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm 42
Logo as raízes são
t = 1 ou t = 5

Passo 4

Voltando a x pela relação t = x^3/2:
  1. Se t = 1, então
x^3/2 = 1 Longrightarrow x = 1^2/3 = 1
  1. Se t = 5, então
x^3/2 = 5 Longrightarrow x = 5^2/3
Ambas as soluções são não negativas, conforme exigido pelo domínio.

Resposta

As soluções reais da equação são
x = 1 e x = 5^2/3

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