(a) Determine todas as funções
f que tornam exata a equação diferencial
\left(y^{2} \operatorname{sen} x\right) d x+y f(x) d y=0 .
(b) A equação
g(x) d y+(y+x) d x=0 tem
h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
g .
(c) A equação
e^{x} \operatorname{sec} y-\operatorname{tg} y+y^{\prime}=0 tem um fator integrante da forma
f(x, y)=e^{a x} \cos y . Determine
a e resolva a equação.
(d) Determine um fator integrante da forma
h(x, y)=x^{n} y^{m} para a equação
y\left(y^{2}+1\right) d x+x\left(y^{2}-1\right) \ln x d y=0
e resolva-a.
(e) Determine um fator integrante da forma
\mu=\mu\left(x+y^{2}\right) para a equação
\left(3 x+2 y+y^{2}\right) d x+\left(x+4 x y+5 y^{2}\right) d y=0 .
Mostre que
y_{1} é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a)
y^{\prime}=1+x^{2}-2 x y+y^{2}, y_{1}=x
(b)
x^{2} y^{\prime}=-1-x y+x^{2} y^{2}, y_{1}=x^{-1}
(c)
2 y^{\prime} \cos x=2 \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x+y^{2}, y_{1}=\operatorname{sen} x
(d)
x^{2} y^{\prime}+y^{2}+x y=3 x^{2}, y_{1}=x
(e)
x^{2} y^{\prime}-x^{2} y^{2}+x y+1=0, y_{1}=x^{-1}
(f)
y^{\prime}-1-x^{2}+2 x y-y^{2}=0, y_{1}=x
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1
(b)
y^{\prime}+2 y=x e^{-2 x}, y(1)=0
(c)
x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x, y(\pi)=0
(d)
x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x, y(\pi / 2)=1
(e)
y^{\prime}=x+y, y(0)=1
(f)
(\cos x) y^{\prime}-(\operatorname{sen} x) y=1, y(2 \pi)=\pi
(g)
y^{\prime}=y^{2}, y(0)=1
(h)
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}, y(0)=1
(i)
y^{\prime}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2 y-2}, y(0)=-1
(j)
y^{\prime}=\frac{y \cos x}{1+2 y^{2}}, y(0)=1
(k)
y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, y(0)=-2
(l)
y^{\prime}=\frac{y^{3}}{1-2 x y^{2}}, y(0)=1
& Respostas
(1)
(a)
y \equiv 0 e
y=\frac{1}{C-x} ;
(b)
y=C x ;
(c)
y= \pm \sqrt{x^{2}+C} ;
(d)
y \equiv 1, y \equiv 2, y=\frac{C e^{x}-2}{C e^{x}-1} ;
(e)
y=\frac{1}{2} \ln \left(2 e^{x}+C\right) ;
(f)
y=\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}-3-C x}{x}} ;
(g)
3 \operatorname{sen} y-\operatorname{sen}^{3} x=3 \operatorname{tg} x+C ; (h)
y=C(x / e)^{x}
(i)
y \equiv 0, y \equiv 3 e
y=\frac{3}{1-C e^{-2 / x}} ;
(j)
y^{2}-2 y=x^{3}+2 x^{2}+2 x+C ;(k)
\ln |y|+y^{2}=\operatorname{sen} x+C ;
(l)
3 y^{2}-2 x^{3}=C ; (m)
3 y^{2}-2 \ln \left|1+x^{3}\right|=C ; (n)
y=0 e
y=(C-\cos x)^{-1} ;
(o)
y=\operatorname{tg}\left(x+x^{2} / 2+C\right) ;
§
y=(1 / 2) \arctan (x+(1 / 2) \operatorname{sen}(2 x)+C) ; (q)
y= \pm 1 e
y=\operatorname{sen}(\ln |x|+C) ;
®
y^{2}-x^{2}+2\left(e^{y}-e^{-x}\right)=C ; (s)
3 y+y^{3}-x^{3}=C ; (t)
y^{2}+y=x^{2}+C .
(2)
(a)
y=C x^{3}-\frac{x}{2} ;
(b)
y=C e^{2 x}-e^{x} ;
(c)
y=-1 / 2+C e^{x^{2}} ;
(d)
y=C e^{-3 x}+(x / 3)-(1 / 9)+e^{-2 x} ;
(e)
y=C e^{2 x}+x^{3} e^{2 x} / 3 ;(f)
y=C e^{-x}+1+x^{2} e^{-x} / 2 ; (g)
y=C / x+(3 \cos 2 x) /(4 x)+(3 / 2) \operatorname{sen} 2 x ;
(h)
y=C e^{x}+2 x e^{x} ;
(i)
y=(C-x \cos x+\operatorname{sen} x) / x^{2} ; (j)
(j)
y=(x+C) e^{2 x} ; (k)
y=(C-x \cos x+\operatorname{sen} x) / x^{2} ;
(l)
y=(C+\operatorname{sen} x) / x^{2} ; (m)
y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)+C e^{-x^{2}} ;
(n)
y=\frac{x+C}{\operatorname{sen} x} ;( o
) y=e^{-x^{2} / 2}(\ln |x|+C) ;
§
y=\frac{C-15 x-10 x^{3}-3 x^{5}}{15 \sqrt{1+x^{2}}} ;
(3)
(a)
y \equiv 0, y^{2}=\frac{1}{6 x+C x e^{-x}} ;
(b)
y \equiv 0, y=\frac{e^{x}}{\sqrt[3]{C-3 x}} ;
(c)
y \equiv 0, y^{2}=\frac{x^{3}}{C-x} ;
(d)
y \equiv 0, y=\frac{27 x^{6}}{\left(C-\ln \left(x^{2}\right)\right)^{3}} ;
(e)
y=C e^{10 x}+\frac{20 x+2}{25} ;
(f)
y= \pm\left(C e^{-2 x}+1\right)^{-1 / 2} ;
(g)
y=\left(2 / 5 x+C x^{4}\right)^{-1 / 2} ; (h)
y=\left(1+C e^{-x}\right)^{-1} ;
(i)
y=\left(-1 / 2+C e^{-x^{2}}\right)^{-1}
(4)
(a)
y=C x+x \ln |x| ;
(b)
y=C x^{2} ;
(c)
\arctan (y / x)-\ln |x|=C ;
(d)
y=C x^{2}(1-C x)^{-1} ;
(e)
|y-x|=C|y+x|^{3} ;
(f)
|y+x|(y+4 x)^{2}=C ; (g)
-\frac{2 x}{x+y}=C+\ln |x+y| ; (h)
\frac{x}{x+y}+\ln |x|=C ;
(i)
y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x^{2} se
x>0 e
y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=-C se
x<0 ; (j)
2 \arcsin (y / x)-\ln |x|=C ;
(k)
e^{-y / x}-\ln |x|=C ; (l)
\sqrt{1+(y / x)^{2}}=C x ; (o)
\operatorname{tg}\left(\frac{y}{x}\right)=\ln |x|+C ; §
y=(1 / 2) x \ln (2 \ln |x|+C) ;
(q)
y=C x^{2}-x ; ®
y=\frac{3 x}{1-C x^{3}} ; (s)
y+x \ln |y|=C x ; (t)
y=x \operatorname{tg}(C+\ln x) ;
(5)
(a)
x^{2}+2 x y=C ;
(b)
x^{2}+y^{2}+2 x e^{y}-2 x^{2} y=C ;
(c)
y=\frac{x+C}{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x} ;
(d)
y^{3}\left(x^{2}-y^{2}\right)=C x ;
(e)
x^{3}+3 x y^{2}=C e^{-3 y} ;
(f)
y=\arcsin (C-x) ;
(g)
4 x y-x^{4}-y^{4}=0 ;
(h)
y=\frac{C-x^{3}}{x+4} ;
(i)
y=\frac{x^{2}+C}{2(1-2 x)} ;
(j)
x y-x^{3}-y^{3}=C ; (k)
y=\arcsin \left(\frac{C-x^{2}}{x}\right) ;
(l)
15 x^{3} y^{2}-3 x^{5}+5 x^{3}=C ; (m)
x^{2 / 3} y^{2}+2 x^{2 / 3}=C ;
(n)
y=\frac{C-x^{4}}{2 x^{3}} ; (o)
y= \pm \sqrt{C-x} ; §
x^{3} \operatorname{tg} y+y^{4}+\frac{y^{3}}{x^{2}}=C ; (q)
y^{2}-2 x y+\ln \left(x^{2}\right)=C ;
(l)
x y-\ln |y|=C ;
(s)
y \ln |x|+3 x^{2}-2 y=0 ; (t)
x^{2}\left(y^{3}+1\right)=C ;
(6)
(a)
f(x)=C-2 \cos x ;
(b)
g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x} ; (c)
a=-1, x+e^{-x} \operatorname{sen} y=C ;
(d)
n=-1, m=-2,\left(y^{2}+1\right) \ln x=C y e
y \equiv 0 ;
(e)
\mu\left(x+y^{2}\right)=x+y^{2} ;
(7)
(a)
y=x+(C-x)^{-1} ;
(b)
y=x^{-1}+2 x\left(c-x^{2}\right)^{-1} ;
(c)
y=\operatorname{sen} x+(C \cos x-(1 / 2) \operatorname{sen} x)^{-1} ;
(d)
y=x+4 x\left(4 C x^{4}-1\right)^{-1} ;
(e)
y=x^{-1}+2 x\left(C-x^{2}\right)^{-1} ; (f)
y=x+(C-x)^{-1}
(8)
(a)
y=3 e^{x}+2(x-1) e^{2 x} ;
(b)
y=(1 / 2)\left(x^{2}-1\right) e^{-2 x} ;
(c)
y=x^{-2} \operatorname{sen} x ;
(d)
y=x^{-2}\left(\pi^{2} / 4-1-x \cos x+\operatorname{sen} x\right) ;
(e)
y=2 e^{x}-x-1 ; (f)
y=\frac{x-\pi}{\cos x} ; (g)
y=(1-x)^{-1} ;
(h)
y=\left(1+(2 / 3) \ln \left(1+x^{3}\right)\right)^{1 / 2} ; (i)
y=1-\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+2 x+4} ; (i)
(j)
\ln |y|+y^{y}=1+\operatorname{sen} x ;
(k)
y=-\left(2 \ln \left(1+x^{2}\right)+4\right)^{1 / 2} ;
(l)
x y^{2}-\ln |y|=0
Parte 2 - Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem
Decaimento radioativo
O isótopo radioativo tório 234 se desintegra à uma taxa proporcional à sua massa presente. Se 100 mg desta substância se reduzem à 82.04 mg em uma semana, encontre uma expressão para a quantidade deste isótopo em qualquer momento e calcule a meia-vida
\tau deste material.
O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial
(a) Determine a meia-vida desta substância.
(b) Se hoje dispusermos de 50 mg desta substância, quanto restará dela depois de decorridos 10 anos?
3. O elemento einsteinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente. Determine a meia-vida
\tau deste material, sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 11.7 dias.
4. A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.
5. O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte de organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
(a) Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda
92 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido foi confeccionado.*
(b) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge, o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha
59 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine uma data provável para a sua construção.
Aplicações financeiras
Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial
C_{0}>0 deseja investílo à uma taxa anual de juros de
\alpha \% ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital
C(t) após
t anos será dado por
C(t)=C_{0}(1+\alpha)^{t} .
(b) Mostre que se a aplicação tiver
k composições de rendimento
\alpha / k \% por ano, então o capital após
t anos será
C(t)=C_{0}\left(1+\frac{\alpha}{k}\right)^{k t} . Estude o que ocorre para valores grandes de
k .
(c) Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão
\alpha em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital
C(t) após
t anos.
(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.