Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
\left(x e^{y}+y-x^{2}\right) d y=\left(2 x y-e^{y}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma
\left(x e^{y}+y-x^{2}\right) dy=\left(2 x y-e^{y}-x\right) dx.
As perguntas implícitas que vou resolver (sem pedir nada mais) são:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Caso não seja exata, buscar fator integrante que dependa só de x ou só de y.
  • Determinar a solução geral (implícita) da equação diferencial.

Passo 2

Coloco a equação no formato padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
Passando tudo para o lado esquerdo obtemos
(2xy-e^{y}-x)\,dx-(x e^{y}+y-x^{2})\,dy=0.
Logo, defino
M(x,y)=2xy-e^{y}-x, \qquad N(x,y)=-(x e^{y}+y-x^{2}).

Passo 3

Lembrete rápido sobre exatidão (aula curta): uma equação diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N.
Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
num domínio onde as derivadas parciais existem. Se isso vale, a equação é exata e podemos buscar \psi.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy-e^{y}-x)=2x-e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-(x e^{y}+y-x^{2})\bigr)=-(e^{y}-2x)=2x-e^{y}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata — ou seja, não precisamos procurar fator integrante: já existe uma função potencial \psi.

Passo 5

Agora vou achar a função potencial \psi(x,y). Começo integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int(2xy-e^{y}-x)\,dx.
Integro termo a termo:
\int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y,
\int (-e^{y})\,dx = -x e^{y}\quad(\text{pois }e^{y}\text{ é constante em }x),é
\int (-x)\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Portanto, a primitiva em x
\psi(x,y)=x^{2}y - x e^{y} -\frac{x^{2}}{2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração relativa a x).

Passo 6

Agora determino h(y) impondo que \psi_{y}=N. Calculo \psi_{y}:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=x^{2}-x e^{y}+h'(y).
Deve valer \psi_{y}=N, isto é,
x^{2}-x e^{y}+h'(y)=-(x e^{y}+y-x^{2}).
Simplifico o lado direito:
-(x e^{y}+y-x^{2})=-x e^{y}-y+x^{2}.
Comparando os dois lados, muitos termos se cancelam:
x^{2}-x e^{y}+h'(y)=x^{2}-x e^{y}-y
logo
h'(y)=-y.

Passo 7

Integro h'(y)=-y em relação a y:
h(y)=-\frac{y^{2}}{2}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Substituo em \psi:
\psi(x,y)=x^{2}y - x e^{y} -\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}+C_{0}.

Passo 8

A solução geral implícita da equação exata é dada por
\psi(x,y)=\text{constante}.
Posso eliminar C_{0} e escrever a família de curvas implícita como
x^{2}y - x e^{y} -\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 9

Breve aula extra sobre fatores integrantes (útil para a prova): se a equação não fosse exata, uma estratégia comum é procurar um fator integrante \mu que dependa só de x ou só de y. As formas usuais são:
  • Se existe \mu=\mu(x), então ela satisfaz a relação
\frac{d\mu}{dx}=\mu(x)\cdot\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N},
ou, de forma prática, testar se \dfrac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} é função só de x. Nesse caso
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right).
  • Se existe \mu=\mu(y), testa-se se \dfrac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} é função só de y; então
\mu(y)=\exp\!\left(\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}\,dy\right).
No caso concreto desta questão, como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, o numerador nessas frações é zero e não é necessário fator integrante.

Resposta

x^{2}y - x e^{y} -\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=C

Exercícios relacionados