Uma matriz quadrada
é dita ortogonal se
é inversível e
.
Provar que a inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal.
Provar que a inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes ortogonais. Basicamente, uma matriz quadrada
é chamada ortogonal se ela é inversível e se a sua inversa é igual à sua transposta, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é provar que a inversa de uma matriz ortogonal também é ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se satisfaz a condição
. Isso implica que multiplicar a matriz por sua transposta resulta na matriz identidade
, ou seja:
Isso é importante porque a matriz identidade é como o número 1 para a multiplicação de matrizes.
Passo 3
Agora, queremos provar que a inversa de
, que é
, também é ortogonal. Para isso, precisamos mostrar que
.
Primeiro, lembremos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz:
Passo 4
Também sabemos, pela definição de matriz ortogonal, que
. Vamos usar isso na nossa equação:
E como a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:
Passo 5
Agora, juntando as duas relações que encontramos:
e
Portanto, temos que:
Isso mostra que a inversa de
é igual à transposta de
, ou seja,
também satisfaz a condição de ser ortogonal.
Resposta
Assim, provamos que a inversa de uma matriz ortogonal é, de fato, uma matriz ortogonal.