Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se A é inversível e A^-1=A^t.
Provar que a inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes ortogonais. Basicamente, uma matriz quadrada A é chamada ortogonal se ela é inversível e se a sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, A^-1 = A^t. Nosso objetivo aqui é provar que a inversa de uma matriz ortogonal também é ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz A é ortogonal se satisfaz a condição A^-1 = A^t. Isso implica que multiplicar a matriz por sua transposta resulta na matriz identidade I, ou seja:
A cdot A^t = I
Isso é importante porque a matriz identidade é como o número 1 para a multiplicação de matrizes.

Passo 3

Agora, queremos provar que a inversa de A, que é A^-1, também é ortogonal. Para isso, precisamos mostrar que (A^-1)^-1 = (A^-1)^t.
Primeiro, lembremos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz:
(A^-1)^-1 = A

Passo 4

Também sabemos, pela definição de matriz ortogonal, que A^-1 = A^t. Vamos usar isso na nossa equação:
(A^-1)^t = (A^t)^t
E como a transposta da transposta de uma matriz retorna a matriz original:
(A^t)^t = A

Passo 5

Agora, juntando as duas relações que encontramos:
(A^-1)^-1 = A
e
(A^-1)^t = A
Portanto, temos que:
(A^-1)^-1 = (A^-1)^t
Isso mostra que a inversa de A^-1 é igual à transposta de A^-1, ou seja, A^-1 também satisfaz a condição de ser ortogonal.

Resposta

Assim, provamos que a inversa de uma matriz ortogonal é, de fato, uma matriz ortogonal.

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