Determine todas as matrizes A \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) tais que A^{2}=\mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as matrizes A\in\mathbb{M}_2(\mathbb{R}) tais que
A^{2}=\mathbf{0},
onde \mathbf{0} é a matriz 2\times2 nula.
Informações importantes fornecidas:
  • Trabalhamos com matrizes 2\times2 reais.
  • A condição a satisfazer é A^{2}=\mathbf{0}.
O que precisamos encontrar: a descrição completa (uma parametrização ou caracterização) de todas as matrizes 2\times2 reais que ao quadrado dão a matriz nula.

Passo 2

Observação sobre posto (rank) de A. Para entender quais matrizes podem satisfazer A^{2}=\mathbf{0} é útil olhar o posto de A. Três casos possíveis em 2\times2 são \operatorname{rank}(A)=0,1,2.
  • Se \operatorname{rank}(A)=0 então A=\mathbf{0}. Essa matriz satisfaz claramente A^{2}=\mathbf{0}.
  • Se \operatorname{rank}(A)=2 então A é invertível. Se A fosse invertível teríamos A^{2} também invertível, logo não poderia ser \mathbf{0}. Portanto \operatorname{rank}(A)=2 é impossível.
  • Logo, os únicos casos possíveis são \operatorname{rank}(A)=0 (já tratado) ou \operatorname{rank}(A)=1. Assim basta descrever todas as matrizes de posto 1 que satisfazem A^{2}=\mathbf{0}.

Passo 3

Propriedades quando \operatorname{rank}(A)=1 e A^{2}=\mathbf{0}.
Se \operatorname{rank}(A)=1 então \dim(\operatorname{Im}A)=1. Da condição A^{2}=\mathbf{0} segue que para todo x\in\mathbb{R}^{2} temos A(Ax)=\mathbf{0}, ou seja, \operatorname{Im}A\subseteq\ker A. Pelas dimensões, \dim(\ker A)=2-\operatorname{rank}(A)=1. Assim \operatorname{Im}A e \ker A têm dimensão 1 e uma está contida na outra, portanto
\operatorname{Im}A=\ker A,
uma mesma reta não nula em \mathbb{R}^{2}.
Essa é uma característica chave: para \operatorname{rank}(A)=1 precisamos que a imagem e o núcleo coincidam.

Passo 4

Forma fatorizada de uma matriz de posto 1 e condição para A^{2}=\mathbf{0}.
Qualquer matriz A de posto 1 pode ser escrita como produto de um vetor coluna por um vetor linha:
A = u v^{T},
onde u,v\in\mathbb{R}^{2} são vetores não nulos (essa é uma forma padrão: matrizes de posto 1 têm todas as colunas múltiplos de um mesmo vetor u, e v^{T} codifica os coeficientes).
Calculemos A^{2} nessa forma:
A^{2} = (u v^{T})(u v^{T}) = u (v^{T} u) v^{T} = (v^{T} u)\, (u v^{T}) = (v^{T} u)\, A.
Portanto A^{2}=\mathbf{0} se, e somente se, v^{T} u=0. Em palavras: os vetores u e v devem ser ortogonais (produto interno zero).
Concluímos: todas as matrizes não nulas A de posto 1 que satisfazem A^{2}=\mathbf{0} são exatamente as que podem ser escritas como A= u v^{T} com u\neq 0, v\neq 0 e v^{T}u=0.

Passo 5

Caracterização em coordenadas (coeficientes) — forma explícita 2\times2.
Seja
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
Calculando A^{2} obtemos (cuidando da multiplicação matricial)
A^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+bc & b(a+d) \\\ c(a+d) & d^{2}+bc \end{pmatrix}.
Impor A^{2}=\mathbf{0} dá o sistema
a^{2}+bc=0,\qquad b(a+d)=0,\qquad c(a+d)=0,\qquad d^{2}+bc=0.
Subtraindo a primeira e a última equações obtemos (a-d)(a+d)=0. Se a+d\neq 0 então as duas equações do meio implicam b=c=0, e então as duas primeiras reduzem a a^{2}=0 e d^{2}=0, ou seja a=d=0, contradizendo a+d\neq0. Logo necessariamente
a+d=0.
Com d=-a as equações se reduzem a uma só:
a^{2}+bc=0.
Observe que a+d=0 é justamente \operatorname{tr}(A)=0. Além disso o determinante de A é
\det A = ad-bc = -a^{2}-bc = -(a^{2}+bc),
portanto a condição a^{2}+bc=0 equivale a \det A=0. Assim, para matrizes 2\times2,
A^{2}=\mathbf{0}\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tr}(A)=0\\ \text{ e }\\ \det(A)=0.
A implicação inversa também é fácil: se \operatorname{tr}(A)=0 e \det(A)=0 então o polinômio característico de A é \lambda^{2}. Pelo teorema de Cayley–Hamilton A satisfaz seu polinômio característico, isto é A^{2}=\mathbf{0}.

Passo 6

Outra descrição útil: forma canônica por similaridade e exemplos.
Qualquer matriz não nula A tal que A^{2}=\mathbf{0} tem posto 1 e é similar à matriz elementar
J=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Mais precisamente, existe P invertível e \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que A é similar a \alpha J. Em uma base apropriada (escolhendo um gerador da reta \ker A=\operatorname{Im}A como primeiro vetor) a matriz de A fica
\begin{pmatrix}0 & \alpha\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},
com \alpha\in\mathbb{R}. O caso \alpha=0 é exatamente A=\mathbf{0}. Isso confirma a forma u v^{T} com v^{T}u=0, pois \alpha J = (\alpha e_{1})(e_{2}^{T}) e e_{2}^{T}(\alpha e_{1})=0.
Exemplos concretos:
  • A=\mathbf{0} (trivial).
  • A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}, tem A^{2}=\mathbf{0}.
  • A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix} e nota-se que \begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}=0, logo A^{2}=\mathbf{0}.]

Passo 7

Resumo prático — como reconhecer/gerar tais matrizes numa prova:
  • Verifique se \operatorname{tr}(A)=0 e \det(A)=0. Se sim, então A^{2}=\mathbf{0}.
  • Ou, escreva A na forma u v^{T} (se \operatorname{rank}(A)=1) e cheque v^{T}u=0.
  • Em bases apropriadas a matriz tem a forma \begin{pmatrix}0 & \alpha\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

Todas as matrizes A\in\mathbb{M}_2(\mathbb{R}) com A^{2}=\mathbf{0} são exatamente:
  • A=\mathbf{0}; ou
  • matrizes de posto 1 da forma A=u v^{T} com u,v\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} e v^{T}u=0.
Equivalentemente, são todas as matrizes 2\times2 reais que satisfazem \operatorname{tr}(A)=0 e \det(A)=0.

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