Determine todas as matrizes
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as matrizes
tais que
onde
é a matriz
nula.
Informações importantes fornecidas:
- Trabalhamos com matrizes
reais. - A condição a satisfazer é
.
O que precisamos encontrar: a descrição completa (uma parametrização ou caracterização) de todas as matrizes
reais que ao quadrado dão a matriz nula.
Passo 2
Observação sobre posto (rank) de
. Para entender quais matrizes podem satisfazer
é útil olhar o posto de
. Três casos possíveis em
são
.
-
Se
então . Essa matriz satisfaz claramente . -
Se
então é invertível. Se fosse invertível teríamos também invertível, logo não poderia ser . Portanto é impossível. -
Logo, os únicos casos possíveis são
(já tratado) ou . Assim basta descrever todas as matrizes de posto que satisfazem .
Passo 3
Propriedades quando
e
.
Se
então
. Da condição
segue que para todo
temos
, ou seja,
. Pelas dimensões,
. Assim
e
têm dimensão
e uma está contida na outra, portanto
uma mesma reta não nula em
.
Essa é uma característica chave: para
precisamos que a imagem e o núcleo coincidam.
Passo 4
Forma fatorizada de uma matriz de posto
e condição para
.
Qualquer matriz
de posto
pode ser escrita como produto de um vetor coluna por um vetor linha:
onde
são vetores não nulos (essa é uma forma padrão: matrizes de posto
têm todas as colunas múltiplos de um mesmo vetor
, e
codifica os coeficientes).
Calculemos
nessa forma:
Portanto
se, e somente se,
. Em palavras: os vetores
e
devem ser ortogonais (produto interno zero).
Concluímos: todas as matrizes não nulas
de posto
que satisfazem
são exatamente as que podem ser escritas como
com
,
e
.
Passo 5
Caracterização em coordenadas (coeficientes) — forma explícita
.
Seja
Calculando
obtemos (cuidando da multiplicação matricial)
Impor
dá o sistema
Subtraindo a primeira e a última equações obtemos
. Se
então as duas equações do meio implicam
, e então as duas primeiras reduzem a
e
, ou seja
, contradizendo
. Logo necessariamente
Com
as equações se reduzem a uma só:
Observe que
é justamente
. Além disso o determinante de
é
portanto a condição
equivale a
. Assim, para matrizes
,
A implicação inversa também é fácil: se
e
então o polinômio característico de
é
. Pelo teorema de Cayley–Hamilton
satisfaz seu polinômio característico, isto é
.
Passo 6
Outra descrição útil: forma canônica por similaridade e exemplos.
Qualquer matriz não nula
tal que
tem posto
e é similar à matriz elementar
Mais precisamente, existe
invertível e
tal que
é similar a
. Em uma base apropriada (escolhendo um gerador da reta
como primeiro vetor) a matriz de
fica
com
. O caso
é exatamente
. Isso confirma a forma
com
, pois
e
.
Exemplos concretos:
-
(trivial). -
, tem . -
e nota-se que , logo .]
Passo 7
Resumo prático — como reconhecer/gerar tais matrizes numa prova:
- Verifique se
e . Se sim, então . - Ou, escreva
na forma (se ) e cheque . - Em bases apropriadas a matriz tem a forma
.]
Resposta
Todas as matrizes
com
são exatamente:
-
; ou - matrizes de posto
da forma com e .
Equivalentemente, são todas as matrizes
reais que satisfazem
e
.