Determine todas as matrizes quadradas de ordem dois que são simultaneamente simétricas e ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes reais que satisfazem simultaneamente
e
O conteúdo usado será o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a condição que, junto com a simetria, implica . Assim veremos que os autovalores de são .
Passo 2
Como é simétrica e ortogonal, temos
Isso mostra que o polinômio mínimo de divide . Logo, os únicos autovalores possíveis são e .
Passo 3
Há três casos para a multplicidade dos autovalores:
Ambos autovalores iguais a .
Nesse caso .
Ambos autovalores iguais a .
Nesse caso .
Um autovalor e um autovalor .
Aqui e , e diagonaliza comocom . Geometricamente são as reflexões em uma reta.
Passo 4
Para parametrizar as reflexões, escolha um vetor unitário
A matriz de reflexão na direção de é
Note que H é simétrica, H^2=I e det H=-1. Em termos de dupla-ângulo,
H = cos2theta & sin2theta sin2theta & -cos2theta
Resposta
Todas as matrizes 2times2 reais simétricas e ortogonais são exatamente:
I, -I,
e as reflexões
H(theta) = 2 costhetasintheta costheta & sintheta - I, thetain[0,pi),