Determine todas as matrizes quadradas de ordem dois que são simultaneamente simétricas e ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes reais 2times2 que satisfazem simultaneamente
A^T = A (simetria)
e
A^T A = I (ortogonalidade)
O conteúdo usado será o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a condição A^TA=I que, junto com a simetria, implica A^2=I. Assim veremos que os autovalores de A são pm1.

Passo 2

Como A é simétrica e ortogonal, temos
A^2 = A^T A = I
Isso mostra que o polinômio mínimo de A divide (x-1)(x+1). Logo, os únicos autovalores possíveis são 1 e -1.

Passo 3

Há três casos para a multplicidade dos autovalores:
  1. Ambos autovalores iguais a .
    Nesse caso .
  2. Ambos autovalores iguais a .
    Nesse caso .
  3. Um autovalor e um autovalor .
    Aqui e , e diagonaliza como com . Geometricamente são as reflexões em uma reta.

Passo 4

Para parametrizar as reflexões, escolha um vetor unitário
u = costhetasintheta
A matriz de reflexão na direção de u é
H ;=; 2,u,u^T ;-; I ;=; 2cos^2theta -1 & 2costhetasintheta 2costhetasintheta & 2sin^2theta -1
Note que H é simétrica, H^2=I e det H=-1. Em termos de dupla-ângulo,
H = cos2theta & sin2theta sin2theta & -cos2theta

Resposta

Todas as matrizes 2times2 reais simétricas e ortogonais são exatamente:
I, -I,
e as reflexões
H(theta) = 2 costhetasintheta costheta & sintheta - I, thetain[0,pi),
ou seja
H(theta) = cos2theta & sin2theta sin2theta & -cos2theta

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