Sejam
A=(cccc 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 3 & -3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 1 ) e B=(cccc 2 & 1 & 1 & 0 4 & 3 & 3 & 1 6 & 6 & 8 & 5 8 & 8 & 10 & 8 )
Determine B^-1 A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar B^-1A^-1. Como A é triangular inferior unitária e B não é singular, podemos usar duas ideias:
  1. Calcular diretamente A^-1 usando o fato de que, se A=I+L com L estritamente triangular, então
A^-1=I - L + L^2 - L^3 + cdots
até zerar.
2. Aproveitar que
B^-1A^-1=(AB)^-1,
então basta calcular C=AB, ver que C é triangular superior e inverter C facilmente.

Passo 2

Vamos primeiro achar A^-1. Escrevemos
A=I+L, L= 0&0&0&0 -2&0&0&0 3&-3&0&0 1&-1&-1&0 ,
e calculamos
L^2= 0&0&0&0 0&0&0&0 6&0&0&0 -1&3&0&0 , L^3= 0&0&0&0 0&0&0&0 0&0&0&0 -6&0&0&0 , L^4=0
Logo
A^-1=I - L + L^2 - L^3 = 1&0&0&0 2&1&0&0 3&3&1&0 4&4&1&1

Passo 3

Agora calculamos
C=AB = 1&0&0&0 -2&1&0&0 3&-3&1&0 1&-1&-1&1 2&1&1&0 4&3&3&1 6&6&8&5 8&8&10&8 = 2&1&1&0 0&1&1&1 0&0&2&2 0&0&0&2

Passo 4

Como C é triangular superior, resolvemos C,D=I para D=C^-1. Das equações linha a linha obtemos
D= 12 & -12 & 0 & 14 0 & 1 & -12 & 0 0 & 0 & 12 & -12 0 & 0 & 0 & 12

Resposta

B^-1A^-1 =(AB)^-1 = 12 & -12 & 0 & 14 0 & 1 & -12 & 0 0 & 0 & 12 & -12 0 & 0 & 0 & 12

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