Sejam (a1, b1) e (a2, b2) dois pontos distintos do plano cartesiano. Mostre que a equação da reta que passa por esses dois pontos pode ser escrita como
|ccc x & y & 1 a1 & b1 & 1 a2 & b2 & 1 |=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a condição de que o ponto (x,y) pertença à reta que passa por l(a1,b1r) e l(a2,b2r) é equivalente a
x & y & 1 a1 & b1 & 1 a2 & b2 & 1 =0
O conteúdo que vamos usar é a noção de colinearidade de três pontos em coordenadas homogêneas: três pontos são colineares se, e somente se, o determinante de suas coordenadas homogêneas for zero.

Passo 2

Escrevemos o determinante e o expandimos pelo desenvolvimento na primeira linha:
x & y & 1 a1 & b1 & 1 a2 & b2 & 1 = x, b1 & 1 b2 & 1 - y, a1 & 1 a2 & 1 + 1, a1 & b1 a2 & b2

Passo 3

Calculamos cada menor de ordem 2:
b1 & 1 b2 & 1 = b1-b2, a1 & 1 a2 & 1 = a1-a2, a1 & b1 a2 & b2 = a1b2-b1a2
Substituindo, o determinante fica
x,(b1-b2) ;-; y,(a1-a2) ;+;(a1b2-b1a2) =0
Reagrupando termos, obtemos a forma clássica da reta em dois pontos:
(y-b1)(a2-a1) ;-;(x-a1)(b2-b1)=0,
mostrando que é exatamente a mesma condição.

Resposta

Portanto a equação da reta que passa por l(a1,b1r) e l(a2,b2r) pode ser escrita como
x & y & 1 a1 & b1 & 1 a2 & b2 & 1 =0

Exercícios relacionados