Determine todas as matrizes quadradas de ordem três que são simétricas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todas as matrizes quadradas de ordem três que sejam simétricas.
Uma matriz de ordem três é simétrica quando vale
Uma matriz
ou seja, seus elementos satisfazem
para todo
.
Passo 2
Começamos escrevendo a forma geral de uma matriz
:
Para que
A seja igual à sua transposta, precisamos ter
Passo 3
Dessas igualdades vemos que só os elementos na diagonal principal
l(a11,a22,a33r) e três posições fora da diagonal são independentes.
Denotando
Denotando
todos em
R , obtemos a forma geral.
Passo 4
Portanto, a família de todas as matrizes simétricas
3times3 é dada por
onde
a,b,c,d,e,f são números reais livres.
Resposta
Todas as matrizes simétricas de ordem três são
com
a,b,c,d,e,finR .