Determine todas as matrizes quadradas de ordem três que são simétricas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as matrizes quadradas de ordem três que sejam simétricas.
Uma matriz A de ordem três é simétrica quando vale
A = A^T,
ou seja, seus elementos satisfazem ,aij=aji para todo i,j.

Passo 2

Começamos escrevendo a forma geral de uma matriz 3times3:
A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33
Para que A seja igual à sua transposta, precisamos ter
a12=a21, a13=a31, a23=a32

Passo 3

Dessas igualdades vemos que só os elementos na diagonal principal l(a11,a22,a33r) e três posições fora da diagonal são independentes.
Denotando
a = a11,; b = a12=a21,; c = a13=a31,; d = a22,; e = a23=a32,; f = a33,
todos em R, obtemos a forma geral.

Passo 4

Portanto, a família de todas as matrizes simétricas 3times3 é dada por
A = a & b & c b & d & e c & e & f ,
onde a,b,c,d,e,f são números reais livres.

Resposta

Todas as matrizes simétricas de ordem três são
a & b & c b & d & e c & e & f ,
com a,b,c,d,e,finR.

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