(xii) Se a diagonal principal de consiste de zeros, então .
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos analisar se, para uma matriz quadrada cuja diagonal principal é toda zero, vale sempre . O conteúdo aqui é a definição de determinante via permutações (fórmula de Leibniz) e a ideia de que nem todo produto em sua expansão precisa envolver entradas diagonais.
Passo 2
Pela fórmula de Leibniz, para uma matriz temos
onde é o conjunto de todas as permutações de .
– O termo correspondente à permutação identidade é
– Porém, qualquer permutação sem pontos fixos (por exemplo um ciclo de comprimento ) não usa nenhuma entrada da diagonal principal, de modo que seu produto não precisa ser zero.
Passo 3
Basta apresentar um contraexemplo em dimensão . Seja
Então a diagonal principal é (0,0), mas
det(A)=0cdot 0 - 1cdot 1 = -1 neq 0
Passo 4
Como existe ao menos um caso em que det(A)neq0 apesar de a diagonal ser zero, a afirmação geral é falsa.