(xii) Se a diagonal principal de A consiste de zeros, então det(A)=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos analisar se, para uma matriz quadrada A cuja diagonal principal é toda zero, vale sempre det(A)=0. O conteúdo aqui é a definição de determinante via permutações (fórmula de Leibniz) e a ideia de que nem todo produto em sua expansão precisa envolver entradas diagonais.

Passo 2

Pela fórmula de Leibniz, para uma matriz temos
onde é o conjunto de todas as permutações de .
– O termo correspondente à permutação identidade é
– Porém, qualquer permutação sem pontos fixos (por exemplo um ciclo de comprimento ) não usa nenhuma entrada da diagonal principal, de modo que seu produto não precisa ser zero.

Passo 3

Basta apresentar um contraexemplo em dimensão 2. Seja
A= 0 & 1 1 & 0
Então a diagonal principal é (0,0), mas
det(A)=0cdot 0 - 1cdot 1 = -1 neq 0

Passo 4

Como existe ao menos um caso em que det(A)neq0 apesar de a diagonal ser zero, a afirmação geral é falsa.

Resposta

Falsa.

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