Verifique se a matriz
A=(llll 4 & 0 & 1 & 1 3 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & 0 3 & 2 & 4 & 1 )
é inversível. Em caso afirmativo, determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 4 & 0 & 1 & 1 3 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 & 0 3 & 2 & 4 & 1
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1.
O método escolhido será a eliminação de Gauss–Jordan: montar (Amid I) e reduzir até (Imid A^-1).

Passo 2

Formamos a matriz aumentada (Amid I):
(cccc|cccc 4 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Usamos o pivô na posição (1,1). Dividimos a primeira linha por 4 e eliminamos abaixo:
R114R1, R2 R2-3R1, R4 R4-3R1
O resultado parcial é
(cccc|cccc 1 & 0 & tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac94-tfrac34= tfrac9-34=tfrac64=1,5 & 1-tfrac34=tfrac14 & -tfrac34 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 4-tfrac34=3,25 & 1-tfrac34=tfrac14 & -tfrac34 & 0 & 0 & 1 )

Passo 4

Agora o pivô está em (2,2). Mantemos R2 e eliminamos em R3 e R4:
R3 R3-R2, R4 R4-2R2
Obtemos
(cccc|cccc 1 & 0 & tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2,25 & 0,25 & -0,75 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -0,25 & -0,25 & 0,75 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1,25 & -0,25 & 0,75 & -2 & 0 & 1 )

Passo 5

Pivô em (3,3) é -0,25. Dividimos R3 por -0,25 e eliminamos em R1,R2,R4:
R3 1-0,25R3, R1 R1-0,25,R3, R2 R2-2,25,R3, R4 R4+1,25,R3
Isso gera
(cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -2 & 6 & -8 & 9 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 4 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 3 & -5 & 1 )

Passo 6

Finalmente, pivô em (4,4) é 1. Eliminamos em R2 e R3:
R2 R2+2,R4, R3 R3-R4
Ficamos com
(cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 3 & -5 & 1 )
O lado esquerdo já é I4, então o lado direito é A^-1.

Resposta

A matriz A é inversível e
A^-1 = 1 & -1 & 1 & 0 0 & -2 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & -1 -3 & 3 & -5 & 1

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