Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
10 z^4+2 z^3+5 z+1=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes complexas da equação
10z^4+2z^3+5z+1=0
O conteúdo aqui envolve fatoração por agrupamento e, em seguida, extração de raízes de grau 3 no campo dos complexos.

Passo 2

Vamos agrupar termos de modo a fatorar:
10z^4+2z^3+5z+1 = (10z^4+2z^3) + (5z+1) = 2z^3(5z+1) + 1,(5z+1) = (5z+1),(2z^3+1)

Passo 3

A primeira fatoração dá a equação
5z+1=0
cuja solução é
z = -tfrac15

Passo 4

A segunda fatoração dá a equação
2z^3+1=0
ou seja
z^3 = -tfrac12

Passo 5

Para extrair as três raízes cúbicas de -tfrac12, escrevemos
-tfrac12 = tfrac12,e^ipi
e usamos a fórmula dos 3-ésimos raízes:
zk = l(tfrac12r)^!1/3,e^,i(pi + 2pi k)/3, k=0,1,2

Resposta

As quatro raízes são
z = -tfrac15, z = l(tfrac12r)^!1/3e^,i(pi + 2pi k)/3, ;k=0,1,2

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