Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(y cdot ln y-e^-t cdot y)+(1y+t cdot ln y) cdot d yd t=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO na forma
M(t,y)+N(t,y),dydt=0,
com
M(t,y)=yln y - e^-t y, N(t,y)=1y+tln y
O objetivo é verificar se é exata ( partial M/partial y=partial N/partial t); se não for, encontrar um fator integrante mu que a torne exata e então resolver por função potencial.

Passo 2

Calculemos primeiro
partial Mpartial y =ddyl(yln yr) -ddyl(e^-t yr) =(ln y+1)+t,e^-t y,
e
partial Npartial t =ddtl(1y + tln yr) =ln y
Como
partial Mpartial y =ln y+1 + t,e^-t y neq ln y =partial Npartial t,
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(t,y). Note que se escolhermos
mu(t,y)=e^t y,
então as funções multiplicadas por mu ficam
widetilde M=mu M = y,e^t yln y ;-;e^t ye^-t y = y,e^t yln y ;-;1,
widetilde N=mu N =e^t yl(1y + tln yr) =e^t yy + t,e^t yln y

Passo 4

Verificamos a exatidão com widetilde M,dt+widetilde N,dy=0. Calculamos
partial widetilde Mpartial y =ddyl(y e^t yln yr) =underbracee^t yln ypartial y +underbraceyl(t e^t yln y + e^t y1yr)partial e^t yln y = e^t yln y + t,y,e^t yln y + e^t y,
e
partial widetilde Npartial t =ddtl(e^t yy + t,e^t yln yr) =e^t y + l(e^t yln y + t,y,e^t yln yr) = e^t yln y + t,y,e^t yln y + e^t y
Como partial widetilde M/partial y=partial widetilde N/partial t, a equação é exata após multiplicar por e^t y.

Passo 5

Como agora
phit=widetilde M = y,e^t yln y - 1,
integramos em t:
phi(t,y) =integrall(y,e^t yln y - 1r),dt = yln y;e^t yy;-;t + h(y) = e^t yln y ;-;t + h(y)

Passo 6

Para ajustar a função h(y), impomos
phiy =partialpartial yl(e^t yln y - t + h(y)r) =t,e^t yln y + e^t yy + h'(y) =widetilde N =e^t yy + t,e^t yln y
Daí vem h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
e^t yln y - t = C,
com C constante.

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