Determine todas raízes complexas das seguintes equações:
z^7+2 z^6+z^5+32 z^2+64 z+32

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes complexas da equação
z^7 + 2,z^6 + z^5 + 32,z^2 + 64,z + 32 = 0
O conteúdo que vamos usar é fatoração de polinômios por agrupamento e a fórmula para as raízes de uma equação da forma z^n = R,e^itheta.

Passo 2

Agrupamos os termos de grau alto e de grau baixo, percebendo que ambos compartilham o fator z^2+2z+1:
z^7 + 2z^6 + z^5 + 32z^2 + 64z + 32 = z^5(z^2+2z+1) + 32,(z^2+2z+1)

Passo 3

Fatorando (z^2+2z+1), que é (z+1)^2, obtemos
(z^2+2z+1),(z^5 + 32) = (z+1)^2,(z^5+32)
Logo a equação é equivalente a
(z+1)^2,(z^5+32) = 0

Passo 4

Das duas parcelas, temos:
1. (z+1)^2=0 Rightarrow z=-1 (raízes dupla).
2. z^5 + 32=0 Rightarrow z^5 = -32 = 32,e^ipi.
As cinco raízes são
zk = 2,exp!l[ipi + 2pi k5r] = 2,exp!l[il(pi5 + 2pi k5r)r], k=0,1,2,3,4

Resposta

As raízes da equação são
z = -1 (mu<iplicidade 2)
e
z = 2,e^il(pi+2pi k5r), k=0,1,2,3,4

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