Represente geometricamente o conjunto das imagens dos complexos z tais que:
|z+1||z-1| <= 1;

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo tais que
|z+1||z-1| <= 1
Isso significa “a distância de z até -1 é menor ou igual à distância de z até 1”. Vamos então representar isso escrevendo z = x + i y e transformando essa desigualdade em termos de x e y.

Passo 2

A condição |z+1||z-1|<=1 equivale a
|z+1|<=|z-1|
Elevando ao quadrado, sem alterar a desigualdade, temos
|z+1|^2 <= |z-1|^2
Escrevendo z=x+iy,
|z+1|^2=(x+1)^2+y^2, |z-1|^2=(x-1)^2+y^2
Logo,
(x+1)^2+y^2 ;<=;(x-1)^2+y^2
x^2+2x+1 + y^2 ;<=; x^2-2x+1 + y^2
2x <= -2x Longrightarrow 4x <= 0 Longrightarrow x <= 0

Passo 3

A desigualdade x<=0 diz que todos os pontos do plano cuja parte real é menor ou igual a zero satisfazem a condição original. Geometricamente, isso é o semiplano fechado à esquerda do eixo imaginário. A fronteira x=0 (eixo imaginário) corresponde exatamente aos pontos onde |z+1|=|z-1|.

Resposta

O conjunto é o semiplano fechado à esquerda do eixo imaginário, ou seja
,zinC : Re(z)<=0

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