Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n^n x^n

Passo 1

Temos a série de potências
sumn=1^inftyn^nx^n
O objetivo é achar o raio de convergência R e o respectivo intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o critério da raiz de Cauchy, que diz que uma série sum an converge se
limsupntoinftyraiz[n]|an|<1
e diverge se esse limite for maior que 1.

Passo 2

Aqui an = n^n x^n. Então calculamos
raiz[n]|an| = raiz[n]|n^n x^n| = n,|x|

Passo 3

Analisando o limite
limntoinftyn,|x| = 0,&se |x|=0, +infty,&se |x|>0,
vemos que para qualquer xneq0 o limite é infinito, logo excede 1 e a série diverge. A única chance de convergência é x=0. Portanto o raio de convergência é
R=0

Passo 4

Como a série converge apenas para x=0 e diverge para todo xneq0, o intervalo de convergência reduz-se ao conjunto formado por esse ponto:
0

Resposta

O raio de convergência é R=0 e o intervalo de convergência é 0.

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