Determine todas as raízes da equação
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as raízes (todos os números complexos
) que satisfazem a equação
Informações dadas:
é um número complexo (não nulo, já que
só está definido para
). Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) o que significa a função
no contexto complexo, porque isso é o que vai orientar toda a resolução.
Se
é um número complexo não nulo, podemos escrevê-lo na forma polar
onde
é o módulo de
e
é um ângulo que representa o argumento de
. O logaritmo complexo é multivalorado: suas possíveis valores são
onde
é qualquer inteiro (
). Aqui
é o logaritmo real do módulo
, e
mostra a periodicidade de
do argumento. Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é o módulo de , isto é, . -
é um representante do argumento de (podemos escolher em qualquer intervalo de comprimento , por exemplo ou ). -
contabiliza todas as voltas que o argumento pode ter, porque girar não muda o ponto no plano complexo.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
então
e podemos escolher
; os valores de
são
.
Passo 3
Agora aplicamos essa forma geral ao nosso problema. Queremos todos
tais que exista um inteiro
com
Duas igualdades complexas são equivalentes a duas igualdades entre partes real e imaginária. Assim obtemos o sistema
e
Passo 4
Resolvendo a primeira equação
: como a função exponencial é a inversa do
,
Então qualquer solução tem módulo
.
Agora a segunda equação:
. Isso dá valores de
que diferem por múltiplos de
. Lembre-se que ângulos que diferem por
representam o mesmo ponto no círculo unitário. Portanto os números
são todos iguais entre si porque
para todo
. Assim todas essas expressões representam o mesmo número complexo:
Passo 5
Calculando
sabemos que
Podemos também checar: para
temos
e argumentos
; portanto os valores de
são
. Entre esses, para
obtemos exatamente
, então
satisfaz a equação. Como mostramos acima, todas as soluções da equação reduzem-se a esse único ponto
.