Determine todas as raízes da equação \log z=i \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as raízes (todos os números complexos z) que satisfazem a equação
\log z = i\frac{\pi}{2}.
Informações dadas: z é um número complexo (não nulo, já que \log z só está definido para z\neq0). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significa a função \log no contexto complexo, porque isso é o que vai orientar toda a resolução.
Se z é um número complexo não nulo, podemos escrevê-lo na forma polar
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|>0 é o módulo de z e \theta é um ângulo que representa o argumento de z. O logaritmo complexo é multivalorado: suas possíveis valores são
\log z = \ln r + i(\theta + 2\pi k),
onde k é qualquer inteiro ( k\in\mathbb{Z}). Aqui \ln r é o logaritmo real do módulo r, e \theta+2\pi k mostra a periodicidade de 2\pi do argumento. Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • r é o módulo de z, isto é, r=|z|.
  • \theta é um representante do argumento de z (podemos escolher \theta em qualquer intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo (-\pi,\pi] ou [0,2\pi)).
  • k contabiliza todas as voltas que o argumento pode ter, porque girar 2\pi não muda o ponto no plano complexo.
Um exemplo rápido para fixar a ideia: se z=i então r=1 e podemos escolher \theta=\pi/2; os valores de \log i são \log i = 0 + i(\pi/2 + 2\pi k).

Passo 3

Agora aplicamos essa forma geral ao nosso problema. Queremos todos z tais que exista um inteiro k com
\ln r + i(\theta + 2\pi k) = i\frac{\pi}{2}.
Duas igualdades complexas são equivalentes a duas igualdades entre partes real e imaginária. Assim obtemos o sistema
\ln r = 0
e
\theta + 2\pi k = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Resolvendo a primeira equação \ln r = 0: como a função exponencial é a inversa do \ln,
r = e^{0} = 1.
Então qualquer solução tem módulo 1.
Agora a segunda equação: \theta = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi k. Isso dá valores de \theta que diferem por múltiplos de 2\pi. Lembre-se que ângulos que diferem por 2\pi representam o mesmo ponto no círculo unitário. Portanto os números
z = r e^{i\theta} = 1\cdot e^{i(\frac{\pi}{2}-2\pi k)} = e^{i\frac{\pi}{2}} e^{-i2\pi k}
são todos iguais entre si porque e^{-i2\pi k}=1 para todo k\in\mathbb{Z}. Assim todas essas expressões representam o mesmo número complexo:
z = e^{i\frac{\pi}{2}}.

Passo 5

Calculando e^{i\frac{\pi}{2}} sabemos que
e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i.
Podemos também checar: para z=i temos |z|=1 e argumentos \theta=\frac{\pi}{2}+2\pi n; portanto os valores de \log i são i(\frac{\pi}{2}+2\pi n). Entre esses, para n=0 obtemos exatamente i\frac{\pi}{2}, então z=i satisfaz a equação. Como mostramos acima, todas as soluções da equação reduzem-se a esse único ponto i.

Resposta

z=i

Exercícios relacionados