Determine todas as raízes dos polinômios a seguir.
x^4-5 x^3-63 x^2+137 x-70

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes do polinômio
P(x)=x^4-5x^3-63x^2+137x-70
O conteúdo principal aqui é o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de P devem ser da forma pmdc, onde d divide o termo constante -70 e c divide o coeficiente líder 1. Como o líder é 1, as possíveis raízes inteiras são os divisores de 70:
pm1,pm2,pm5,pm7,pm10,pm14,pm35,pm70

Passo 2

Testamos essas candidatas em P(x). Primeiro,
P(1)=1-5-63+137-70=0,
portanto x=1 é raiz. Em seguida, testamos x=10:
P(10)=10^4-5cdot10^3-63cdot10^2+137cdot10-70 =10000-5000-6300+1370-70=0,
logo x=10 também é raiz.

Passo 3

Isso significa que (x-1) e (x-10) são fatores de P(x). O produto desses fatores é
(x-1)(x-10)=x^2-11x+10
Agora dividimos P(x) por x^2-11x+10 para obter um quociente quadrático. A divisão polinomial fornece
P(x)=(x^2-11x+10)l(x^2+6x-7r)

Passo 4

Restou resolver a equação quadrática
x^2+6x-7=0
Pela fórmula de Bhaskara,
x=-6pmraiz6^2-4cdot1cdot(-7)2 =-6pmraiz36+282 =-6pm82
Assim as soluções são
x=-6+82=1, x=-6-82=-7

Resposta

As raízes de P(x) são
x=1 (mu<iplicidade 2), x=10, x=-7

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