Questão 2 (2,0 pontos). Mostre que a equação sen(pi sen(x))=sen(x) possui pelo menos uma solução em [pi / 6, pi / 2]. Dica: use o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
sinl(pisin xr)=sin x
tem pelo menos uma solução em [pi/6,pi/2]. O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raiz para uma função contínua que muda de sinal no intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=sinl(pisin xr)-sin x
Como a função sin é contínua e composição de funções contínuas é contínua, segue que f é contínua em [pi/6,pi/2].

Passo 3

Calculamos f em x=pi/6. Como sin(pi/6)=tfrac12 e pisin(pi/6)=pi/2, temos
fl(tfracpi6r) =sinl(pi/2r)-sinl(pi/6r) =1-tfrac12 =tfrac12>0

Passo 4

Calculamos f em x=pi/2. Como sin(pi/2)=1 e pisin(pi/2)=pi, obtemos
fl(tfracpi2r) =sin(pi)-sinl(tfracpi2r) =0-1 =-1<0

Passo 5

Vimos que f(pi/6)>0 e f(pi/2)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(pi/6,pi/2) tal que
f(c)=0,
ou seja, sin(pisin c)=sin c.

Resposta

Há pelo menos uma solução da equação em [pi/6,pi/2].

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