a) (0,5) Determine o domínio da função f.
b) (0,5) Encontre os pontos de intersecção entre a curva y=f(x) e os eixos cartesianos.
c) (1,0) Faça a análise de sinal da função: diga em quais intervalos ela é positiva e em quais ela é negativa.
d) (2,0) Encontre os pontos de descontinuidade de f e diga se são do tipo salto, infinito ou removível. Justifique calculando os limites pertinentes.
e) (1,0) Determine as assíntotas horizontais da curva y=f(x). Justifique calculando os limites pertinentes.
Passo 1
A função é definida em duas partes: para x<2 temos f(x)=3x^2+5x-22x^2+5x+2 e para x>=2 temos f(x)=raiz2x^2-11-x. Vamos trabalhar domínio, interceptos, sinal, descontinuidades e assíntotas horizontais usando teoria de frações racionais, radiciais e limites.
Passo 2
Para achar o domínio de f, em cada parte a gente verifica onde o denominador é zero e onde o radical fica negativo. Na parte x<2 o denominador 2x^2+5x+2 anula em x=-2 e x=-tfrac12, então tiramos esses pontos de ( -infty,2). Na parte x>=2 precisamos de 2x^2-1>=0 (dá sempre positivo para x>=2) e 1-xneq0 (não afeta x>=2). Assim o domínio é
[(-\infty,-2)\cup(-2,-\tfrac12)\cup(-\tfrac12,2)\cup[2,\infty)].
Passo 3
Para as intersecções com os eixos, com o eixo x (onde y=0) resolvemos f(x)=0. Na parte x<2 isso vem de 3x^2+5x-2=0, cujas raízes são x=1/3 e x=-2. Mas x=-2 não está no domínio, sobra x=1/3, dando o ponto (1/3,0). A intersecção com o eixo y é em x=0 (usa a parte x<2), então
f(0)=-22=-1
que dá (0,-1).
Passo 4
Para o sinal de f em cada intervalo do domínio, simplificamos a parte x<2 fatorando:
3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)
2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)
Cancelando (x+2) (salvo em x=-2, onde há descontinuidade), temos f(x)=3x-12x+1. Analisando o sinal de numerador e denominador vemos que f>0 em (-infty,-tfrac12)cup(1/3,2) e f<0 em (-tfrac12,1/3). Na parte x>=2 o numerador é sempre positivo e o denominador 1-x é negativo, logo f<0 em [2,infty).
Passo 5
Para descontinuidades, olhamos onde o domínio falha e onde muda a definição. Em x=-2 o limite
limxto-2f(x)=3(-2)-12(-2)+1=-7-3=tfrac73
é finito mas f(-2) não existe, então é removível. Em x=-tfrac12 o limite vai a +infty de um lado e a -infty do outro, então é infinito. Em x=2 temos salto porque
limxto2^-f(x)=1elimxto2^+f(x)=-raiz7
dão valores diferentes.
Passo 6
Para assíntotas horizontais, calculamos os limites em pminfty. Como x<2 não cobre +infty, usamos só para -infty. Em xto-infty a parte racional tende a 3/2, logo há assíntota y=3/2. Em xto+infty usamos a forma raiz2x^2-11-xsimraiz2,x-x=-raiz2, dando assíntota y=-raiz2.
Resposta
a) Domínio:
[(-\infty,-2)\cup(-2,-\tfrac12)\cup(-\tfrac12,2)\cup[2,\infty)].
b) Intersecções:
com o eixo x: (1/3,0);
com o eixo y: (0,-1).
c) Sinal: f(x)>0 em (-infty,-tfrac12)cup(1/3,2), f(x)<0 em (-tfrac12,1/3)cup[2,infty).
d) Descontinuidades: x=-2 removível; x=-tfrac12 infinito; x=2 salto (limite esquerdo =1, direito =-raiz7).
e) Assíntotas horizontais: y=3/2 quando xto-infty, y=-raiz2 quando xto+infty.