Determine o valor de m, tal que a divisão do polinômio f(x)=x^{4}-m x^{2}+3 x-m por g(x)=x-3 deixe resto igual a r(x)=4.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m tal que, ao dividir
f(x)=x^{4}-m x^{2}+3x-m
por
g(x)=x-3
o resto seja igual a 4. Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio f(x) por x-a é f(a).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de f(x) por x-3 é
f(3),
e queremos que
f(3)=4.

Passo 3

Calculamos f(3) em função de m:
f(3)=3^{4}-m\cdot3^{2}+3\cdot3-m=81-9m+9-m=90-10m.

Passo 4

Impondo 90-10m=4, temos
90-10m=4 \quad\Longrightarrow\quad 10m=90-4=86 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{86}{10}=\frac{43}{5}.

Resposta

m=\frac{43}{5}.

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