Mostre que toda matriz da forma [ccalpha & -1 1 & alpha] é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer matriz
M = alpha & -1 1 & alpha
é invertível.
Conteúdo: definição de invertibilidade de matriz e cálculo de determinante.

Passo 2

Lembre que uma matriz quadrada de ordem 2 é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Calcule o determinante de M:
det(M) = alphacdotalpha - (-1)cdot1 = alpha^2 + 1
Como alpha^2+1>0 para todo alphainR, temos det(M)neq0. Logo M é invertível para todo alpha.

Passo 4

Opcionalmente, pode-se escrever a inversa de M usando a fórmula da inversa de matriz 2times2:
M^-1 =1alpha^2+1 alpha & 1 -1 & alpha

Resposta

A matriz
alpha & -1 1 & alpha
é invertível para todo alphainR, pois seu determinante alpha^2+1 é sempre não nulo.

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