Determine todas as soluções da equação cos (2 x+pi2)=12.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções de cosl(2x + tfracpi2r) = tfrac12. O conteúdo principal é equações trigonométricas e vamos usar a periodicidade do cosseno e identidades algébricas para isolar x.

Passo 2

Definimos theta = 2x + tfracpi2. Assim a equação vira costheta = tfrac12. Sabemos que o cosseno atinge tfrac12 quando
theta = 2pi k pm pi3, k in Z

Passo 3

Voltando para x, temos
2x + pi2 = 2pi k pm pi3

Passo 4

Isolando x: primeiro subtraímos tfracpi2 e depois dividimos por 2. Calculando o termo independente:
pm pi3 - pi2 = pi3 - pi2 = -pi6, -pi3 - pi2 = -5pi6

Passo 5

Logo
2x = 2pi k - pi6 ou 2x = 2pi k - 5pi6,

Passo 6

e dividindo por 2 chegamos em
x = pi k - pi12 ou x = pi k - 5pi12, k in Z

Resposta

As soluções são x = pi k - pi12 e x = pi k - 5pi12, com kinZ.

Exercícios relacionados