Determine todos os autovalores lambda in R com seus correspondentes subespaços associados Vlambda.
A=[ccc1 & 0 & -3 0 & 1 & 1 -2 & 0 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os autovalores lambdainR e os subespaços próprios Vlambda associados à matriz
A = 1 & 0 & -3 0 & 1 & 1 -2 & 0 & -1
Vamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I), encontrar as raízes lambda e, para cada lambda, resolver (A-lambda I)x=0 para obter Vlambda.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(A-lambda I) = det 1-lambda & 0 & -3 0 & 1-lambda & 1 -2 & 0 & -1-lambda
Expandindo pela segunda coluna, obtemos
det(A-lambda I) = (1-lambda)det 1-lambda & -3 -2 & -1-lambda

Passo 3

Calculamos a parte 2×2:
det1-lambda & -3 -2 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda) - (-3)(-2) = (lambda^2-1)-6 = lambda^2 -7
Logo
det(A-lambda I) = (1-lambda)(lambda^2 -7) = -(lambda-1)(lambda-raiz7)(lambda+raiz7)
Os autovalores reais são
lambda1 = 1, lambda2 = raiz7, lambda3 = -raiz7

Passo 4

Para , resolvemos
As equações dão
e fica livre. Portanto

Passo 5

Para , resolvemos
As equações equivalem a
Da primeira e terceira vem
e da segunda
Escolhendo , obtemos
Logo

Passo 6

Para , resolvemos
As equações implicam
Da primeira e terceira vem
e da segunda
Escolhendo , resulta
Logo

Resposta

lambda1 = 1,;V1 = span(0,1,0)
lambda2 = raiz7,;Vraiz7 = span(-3,1,raiz7-1)
lambda3 = -raiz7,;V-raiz7 = span(3,-1,raiz7+1)

Exercícios relacionados