Determine todos os autovalores lambda in R com seus correspondentes subespaços associados Vlambda.
T: R^3 R^3 com T(x, y, z)=(-x+y+z, x-y+z, x+y-z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(-x+y+z,;x-y+z,;x+y-z)
Precisamos encontrar todos os autovalores lambdainR de T e, para cada um, descrever o subespaço próprio
Vlambda = ,vinR^3 : T(v)=lambda v
Para isso vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, achar as raízes e depois, para cada raiz, resolver (T-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A = -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1
O polinômio característico é
det(A - lambda I) =det -1-lambda & 1 & 1 1 & -1-lambda & 1 1 & 1 & -1-lambda
Calculando a determinante obtemos
det(A-lambda I) =;-lambda^3 -3lambda^2 +4 ;=;-(lambda^3+3lambda^2-4) ;=;0,
ou seja
lambda^3 + 3lambda^2 -4 =0

Passo 3

Para resolver lambda^3+3lambda^2-4=0 testamos lambda=1:
1^3+3cdot1^2-4 =0,
logo lambda=1 é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
lambda^3+3lambda^2-4 = (lambda-1)(lambda^2 +4lambda+4) =(lambda-1)(lambda+2)^2
Concluímos que os autovalores reais são
lambda1 = 1 e lambda2 = -2(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para resolvemos
As equações dão
Dessa forma , então

Passo 5

Para resolvemos
Isso equivale a
Então
que é um subespaço de dimensão 2. Por exemplo, uma base é
.

Resposta

Os autovalores e subespaços próprios são:
(a) lambda=1,
V1 = span(1,1,1)
(b) lambda=-2,
V-2 = (x,y,z)inR^3 : x+y+z=0 = span(1,-1,0),(1,0,-1)

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