Determine todos os autovalores
com seus correspondentes subespaços associados
.
com
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
Precisamos encontrar todos os autovalores
de
e, para cada um, descrever o subespaço próprio
Para isso vamos montar a matriz de
na base canônica, calcular o polinômio característico, achar as raízes e depois, para cada raiz, resolver
.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
O polinômio característico é
Calculando a determinante obtemos
ou seja
Passo 3
Para resolver
lambda^3+3lambda^2-4=0 testamos
lambda=1 :
logo
lambda=1 é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
Concluímos que os autovalores reais são
Passo 4
Para
resolvemos
As equações dão
Dessa forma
, então
Passo 5
Para
resolvemos
Isso equivale a
Então
que é um subespaço de dimensão 2. Por exemplo, uma base é
.
Resposta
Os autovalores e subespaços próprios são:
(a)lambda=1 ,
V1 = span(1,1,1)
(a)
(b)
lambda=-2 ,
V-2 = (x,y,z)inR^3 : x+y+z=0 = span(1,-1,0),(1,0,-1)