Sejam
matrizes quadradas de ordem
. Calcule det
(justificando como foi obtido tal resultado) para:
tem duas linhas iguais;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada
de ordem
e sabemos que ela tem duas linhas iguais. Nosso objetivo é calcular o determinante de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar um pouco da teoria sobre propriedades dos determinantes, especialmente o que acontece quando uma matriz tem linhas iguais.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (ou complexo, dependendo do contexto). Esse número nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.
Passo 3
Uma propriedade fundamental dos determinantes é: Se uma matriz quadrada tem duas linhas iguais, então o seu determinante é zero. Isso acontece porque linhas iguais indicam que as linhas da matriz são linearmente dependentes, o que significa que não contribuem para o “volume” que o determinante mede.
Passo 4
Vamos entender por que isso acontece. Imagine que você troca as duas linhas iguais de lugar na matriz
. O determinante, por propriedade, muda de sinal quando a gente troca duas linhas. Mas como as linhas são iguais, a matriz não muda de nada, então o determinante deveria ser igual ao seu próprio negativo. A única maneira disso acontecer é se o determinante for zero.
Passo 5
Então, aplicando essa propriedade diretamente ao nosso caso: como a matriz
tem duas linhas iguais, podemos concluir diretamente que
.