Sejam A, B, C matrizes quadradas de ordem n. Calcule det A (justificando como foi obtido tal resultado) para:
A é uma matriz diagonal.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma matriz AinR^ntimes n que é diagonal, ou seja,
A = a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & ann
Conteúdo: determinante de matrizes triangulares (no caso diagonal). Vamos usar a fórmula de Leibniz para justificar que só a permutação identidade contribui ao determinante.

Passo 2

Fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz genérica M=(mij) é
det M ;=; sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^nm,i,sigma(i),
onde Sn é o grupo de permutações de 1,2,dots,n e sgn(sigma) é o sinal de sigma.

Passo 3

No caso de A diagonal, ai,sigma(i)neq 0 ocorre apenas se sigma(i)=i para todo i, isto é, sigma é a permutação identidade. Todas as outras permutações têm pelo menos um fator ai,sigma(i)=0, então só resta o termo
det A = sgn(id);prodi=1^naii = 1cdot(a11a22cdots ann)

Resposta

det A = a11,a22,cdots,ann

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