Sejam matrizes quadradas de ordem . Calcule det (justificando como foi obtido tal resultado) para: é uma matriz diagonal.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma matriz que é diagonal, ou seja,
Conteúdo: determinante de matrizes triangulares (no caso diagonal). Vamos usar a fórmula de Leibniz para justificar que só a permutação identidade contribui ao determinante.
Passo 2
Fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz genérica M=(mij) é
det M ;=; sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^nm,i,sigma(i),
onde Sn é o grupo de permutações de 1,2,dots,n e sgn(sigma) é o sinal de sigma.
Passo 3
No caso de A diagonal, ai,sigma(i)neq 0 ocorre apenas se sigma(i)=i para todo i, isto é, sigma é a permutação identidade. Todas as outras permutações têm pelo menos um fator ai,sigma(i)=0, então só resta o termo
det A = sgn(id);prodi=1^naii = 1cdot(a11a22cdots ann)