Verifique se H é subgrupo de G quando: G=\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) e H=\{z \in \mathbb{C} ;|z|=1\}.
Passo 1
O enunciado dá:
G=\left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right), ou seja, o grupo multiplicativo dos números complexos não nulos.
H=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}, o conjunto dos números complexos de módulo 1.
O que se pede: verificar se H é subgrupo de G.
Passo 2
Primeiro lembro rápido o que é G e por que faz sentido falar de subgrupo: G contém todos os complexos não nulos (ou seja, 0\notin\mathbb{C}^{*}) e a operação é a multiplicação usual. Em G valem:
a operação é associativa;
existe elemento identidade 1;
todo elemento z\in\mathbb{C}^{*} tem inverso multiplicativo z^{-1}.
O conjunto H só contém números com |z|=1, portanto H\subseteq\mathbb{C}^{*} (nenhum elemento de H é zero).
Passo 3
Vou usar o critério direto de subgrupo: um subconjunto H de um grupo G é subgrupo se satisfaz:
H é não vazio (por exemplo contém a identidade);
H é fechado sob a operação do grupo: se z,w\in H então z\cdot w\in H;
H contém inversos: se z\in H então z^{-1}\in H.
A associatividade já fica garantida porque vem de G. Vou verificar as três propriedades acima para H.
Passo 4
Verificação da condição 1 (não vazio / identidade):
O elemento identidade de G é 1.
|1|=1, portanto 1\in H.
Logo H é não vazio e contém a identidade.
Passo 5
Verificação da condição 2 (fechamento sob multiplicação):
Tome z,w\in H. Então |z|=1 e |w|=1.
Uso a propriedade multiplicativa do módulo: |zw|=|z||w|.
Explicação rápida dessa propriedade (para lembrar como provar na prova): |z|^{2}=z\overline{z}. Assim|zw|^{2}=(zw)\overline{(zw)}=zw\overline{z}\,\overline{w}=(z\overline{z})(w\overline{w})=|z|^{2}|w|^{2},e tomando raiz positiva obtemos |zw|=|z||w|.
Aplicando a propriedade: |zw|=|z||w|=1\cdot1=1.
Portanto zw\in H.
Passo 6
Verificação da condição 3 (existência do inverso em H):
Tome z\in H. Assim |z|=1 e z\neq0 (já sabemos).
O inverso multiplicativo z^{-1} existe em G. Calculo o módulo de z^{-1}:|z^{-1}|=\frac{1}{|z|},que decorre de |z||z^{-1}|=|zz^{-1}|=|1|=1 (ou pelo mesmo argumento com conjugados: |z^{-1}|^{2}=(z^{-1}\overline{z^{-1}})=1/(z\overline{z})=1/|z|^{2}).
Como |z|=1 segue |z^{-1}|=1.
Logo z^{-1}\in H.
Passo 7
Resumo das verificações:
H contém a identidade 1;
H é fechado sob multiplicação;
todo elemento de H tem seu inverso em H;
associatividade é herdada de G.
Portanto todas as hipóteses do critério de subgrupo foram verificadas.