Determine todos os ideais de Z12.

Passo 1

Resumo do enunciado: a questão pede para determinar todos os ideais de Z12. Estamos trabalhando com teoria de anéis comutativos e ideais, mais especificamente com o fato de que Zn é um anel principal e todo ideal nele é gerado por um único elemento.

Passo 2

A teoria básica: em Zn todo ideal é da forma lang<= [d] rang<= = [k d]: k in Z, onde d é algum divisor de n. Isso decorre do isomorfismo Zn cong Z/nZ e do fato de Z ser um domínio de ideais principais.

Passo 3

Identificação dos divisores de 12: os divisores positivos de 12 são 1,2,3,4,6,12. Observação: em Z12 temos [12]=[0], logo lang<=[12]rang<==lang<=[0]rang<==[0], e lang<=[1]rang<==Z12.

Passo 4

Cálculo explícito dos ideais gerados por cada divisor:
  • Para d=1: lang<=[1]rang<==[0],[1],[2],dots,[11]=Z12.
  • Para d=2: lang<=[2]rang<==[0],[2],[4],[6],[8],[10].
  • Para d=3: lang<=[3]rang<==[0],[3],[6],[9].
  • Para d=4: lang<=[4]rang<==[0],[4],[8].
  • Para d=6: lang<=[6]rang<==[0],[6].
  • Para d=12: já vimos que é [0], igual a lang<=[0]rang<=.

Passo 5

Verificação de unicidade: divisores distintos podem dar o mesmo ideal (por exemplo, lang<=[12]rang<==lang<=[0]rang<=), mas os ideais não se repetem além desses. Concluímos que não há outros ideais além dos listados.

Resposta

Os ideais de Z12 são exatamente
lang<=[0]rang<==[0],
lang<=[6]rang<==[0],[6],
lang<=[4]rang<==[0],[4],[8],
lang<=[3]rang<==[0],[3],[6],[9],
lang<=[2]rang<==[0],[2],[4],[6],[8],[10]
e lang<=[1]rang<==Z12.

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