Determine todos os ideais de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a questão pede para determinar todos os ideais de
. Estamos trabalhando com teoria de anéis comutativos e ideais, mais especificamente com o fato de que
é um anel principal e todo ideal nele é gerado por um único elemento.
Passo 2
A teoria básica: em
todo ideal é da forma
, onde
é algum divisor de
. Isso decorre do isomorfismo
e do fato de
ser um domínio de ideais principais.
Passo 3
Identificação dos divisores de 12: os divisores positivos de 12 são
. Observação: em
temos
, logo
, e
.
Passo 4
Cálculo explícito dos ideais gerados por cada divisor:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: já vimos que é , igual a .
Passo 5
Verificação de unicidade: divisores distintos podem dar o mesmo ideal (por exemplo,
), mas os ideais não se repetem além desses. Concluímos que não há outros ideais além dos listados.
Resposta
Os ideais de
são exatamente
,
,
,
,
e .
e