Seja A um anel comutativo e a in A. Mostre que I=x in A ; x cdot a=0 é um ideal de A.

Passo 1

Temos um anel comutativo A e um elemento a em A, e queremos mostrar que o conjunto I = {x ∈ A; x · a = 0} é um ideal de A. O conteúdo aqui é a teoria de ideais em anel comutativo; para isso precisamos verificar que I não é vazio, que é fechado sob subtração e que absorve a multiplicação por qualquer elemento de A.

Passo 2

Primeiro, mostramos que I não é vazio. No anel A, o elemento zero satisfaz 0 · a = 0. Logo, 0 ∈ I, o que garante que I é não vazio.

Passo 3

Agora, verificamos a clausura sob subtração. Sejam x e y em I. Então temos x · a = 0 e y · a = 0. Pela distributividade e pelas propriedades de anel,
(x - y) cdot a = x cdot a - y cdot a = 0 - 0 = 0
Isto mostra que x - y também está em I, ou seja, I é fechado sob subtração.

Passo 4

Por fim, checamos a propriedade de absorção. Seja r um elemento arbitrário de A e tome x em I. Então x · a = 0. Usando associatividade e comutatividade da multiplicação em A, temos
(r cdot x) cdot a = r cdot (x cdot a) = r cdot 0 = 0
Logo, r · x ∈ I, o que prova que I absorve multiplicação por elementos de A. Com isso, todos os requisitos para I ser um ideal em A estão satisfeitos.

Resposta

O conjunto I = {x ∈ A; x · a = 0} é um ideal de A.

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