a. Seja A um anel e I e J ideais. Mostre que I+J=x+y mid x in I, y in J é um ideal de A.
b. Se A=Z, I=(10) e J=(12), determine um gerador para o ideal I+J.

Passo 1

O exercício tem duas partes: (a) mostrar que, em um anel A, a soma de ideais
$$
I + J = {x + y \mid x \in I,\ y \in J}\n$$
é de fato um ideal; (b) no caso especial I + J = x + y mid x in I, y in Jn e A=Z, I=(10), determinar um gerador para J=(12). Vamos usar conceitos de subgrupo aditivo e absorvência por multiplicação em anéis.

Passo 2

Para provar que I+J é um subgrupo aditivo de A, tomamos dois elementos quaisquer
u = x + y, u' = x' + y',
com x,x'in I e y,y'in J. Então
u + u' = (x + x') + (y + y'),
e como I e J são ideais (logo subgrupos aditivos), temos x+x'in I e y+y'in J. Assim nu+u'in I+J. Além disso, o inverso aditivo é
-(x+y) = (-x) + (-y),
e -x)in I,,(-y)in J. Logo I+J é fechado sob soma e inversos, sendo subgrupo aditivo.

Passo 3

Agora mostramos que I+J absorve multiplicação por qualquer ain A. Para u=x+yin I+J e ain A,
au = a(x+y) = ax + ay,
com axin I e ayin J (pois I,J são ideais). Logo auin I+J. De modo análogo é ideal em (x+y)ain I+J Assim (I+J.

Passo 4

No caso A=Z, I=(10) e J=(12), sabemos que a soma de ideais em Z gera o ideal do mdc dos geradores. Como
gcd(10,12)=2,
segue que
I+J = (10) + (12) = (2)

Passo 5

Portanto, o ideal I+J é gerado por 2.

Resposta

a) Em qualquer anel A, I+J é um ideal. b) Em Z com I=(10) e J=(12), tem-se I+J=(2), ou seja, o gerador é 2.

Exercícios relacionados