a. Seja
um anel e
e
ideais. Mostre que
é um ideal de
.
b. Se
e
, determine um gerador para o ideal
.
b. Se
Passo 1
O exercício tem duas partes: (a) mostrar que, em um anel
, a soma de ideais
$$
I + J = {x + y \mid x \in I,\ y \in J}\n$$
é de fato um ideal; (b) no caso especial e
, determinar um gerador para
. Vamos usar conceitos de subgrupo aditivo e absorvência por multiplicação em anéis.
é de fato um ideal; (b) no caso especial
Passo 2
Para provar que
é um subgrupo aditivo de
, tomamos dois elementos quaisquer
com
e
. Então
e como
e
são ideais (logo subgrupos aditivos), temos
e
. Assim
. Além disso, o inverso aditivo é
e
. Logo
é fechado sob soma e inversos, sendo subgrupo aditivo.
Passo 3
Agora mostramos que
absorve multiplicação por qualquer
. Para
e
,
com
e
(pois
são ideais). Logo
. De modo análogo é ideal em
.
Passo 4
No caso
e
, sabemos que a soma de ideais em
gera o ideal do mdc dos geradores. Como
segue que
Passo 5
Portanto, o ideal
é gerado por
.
Resposta
a) Em qualquer anel
,
é um ideal. b) Em
com
e
, tem-se
, ou seja, o gerador é 2.