Num triângulo A B C é dado X sobre A B tal que |A X|=2|X B| e é dado Y sobre B C tal que |B Y|=3|Y C|. Mostre que as retas C X e A Y se cortam.
Sugestão: Use o exercício anterior, achando qual deve ser m e qual deve ser n. Suponha C X=lambda A Y

Passo 1

Resumindo o enunciado e o que vamos usar: temos o triângulo ABC, o ponto X em AB tal que AX = 2·XB e o ponto Y em BC tal que BY = 3·YC. Queremos mostrar que as retas CX e AY se interceptam. Como em geometria vetorial duas retas se cruzam se não forem paralelas, basta provar que os vetores diretores CX e AY não são colineares. Vamos usar a fórmula de divisão de segmento em razão m e n e testar um possível lambda tal que CX=lambda,AY.

Passo 2

Identificar as razões dadas: em AB temos AX/XB=2, logo m=2; em BC temos BY/YC=3, logo n=3.

Passo 3

Escolher A como origem do sistema vetorial e definir

Passo 4

Calcular as posições de X e Y usando divisão de segmento:
Para X em AB com m=2:
n=3
Para Y em BC com AY=AB+BY:
AY=vec b+tfrac34(vec c-vec b)=tfrac14,vec b+tfrac34,vec c
Como , temos

Passo 5

Determinar o vetor diretor de CX:
CX=AX-AC=tfrac23,vec b-vec c

Passo 6

Testar paralelismo supondo
vec b
Isso dá o sistema de coeficientes:
para vec c:
lambda
para lambda:

Esses valores de não coincidem, logo não existe que torne os vetores colineares.

Passo 7

Como não há colinearidade entre CX e AY, as retas CX e AY não são paralelas e portanto se cortam.

Resposta

As retas CX e AY não são paralelas e, consequentemente, se interceptam.

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