Expresse cada integral tripla em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
convertendo a integral para coordenadas esféricas. O conteúdo aqui envolve a descrição da região como parte de uma esfera de raio e a mudança de variáveis para .
Passo 2
Identificamos a região de integração:
Isso é exatamente o octante positivo da bola . Em coordenadas esféricas, com
Passo 3
Na integral original o elemento é . Em coordenadas esféricas temos
e o jacobiano
Portanto o integrando vira
Passo 4
Montamos a integral tripla em esféricas:
Passo 5
Integramos em :
Em theta:
integral0^pi/2costheta,dtheta=sintheta|0^pi/2=1
Em varphi, usando u=sinvarphi, du=cosvarphi,dvarphi, quando varphi:0topi/2 tem u:0to1: