Expresse cada integral tripla em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^3integral0^raiz9-x^2integral0^raiz9-x^2-y^2x,z,dz,dy,dx
convertendo a integral para coordenadas esféricas. O conteúdo aqui envolve a descrição da região como parte de uma esfera de raio 3 e a mudança de variáveis para (rho,theta,varphi).

Passo 2

Identificamos a região de integração:
;0<= x<=3,;0<= y<=raiz9-x^2,;0<= z<=raiz9-x^2-y^2
Isso é exatamente o octante positivo da bola x^2+y^2+z^2<=9. Em coordenadas esféricas, x=rhosinvarphicostheta,;y=rhosinvarphisintheta,;z=rhocosvarphi, com
0<= rho<= 3, 0<= theta<= pi2, 0<= varphi<= pi2

Passo 3

Na integral original o elemento é x,z,dz,dy,dx. Em coordenadas esféricas temos
x,z = (rhosinvarphicostheta)(rhocosvarphi)=rho^2sinvarphicosvarphicostheta
e o jacobiano
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Portanto o integrando vira
x,z,dV = rho^2sinvarphicosvarphicostheta ;times;rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta = rho^4sin^2varphicosvarphicostheta ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Montamos a integral tripla em esféricas:
integraltheta=0^pi/2integralvarphi=0^pi/2integralrho=0^3 rho^4sin^2varphicosvarphicostheta ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 5

Integramos em rho:
integral0^3rho^4,drho=rho^55|0^3=3^55=2435
Em theta:
integral0^pi/2costheta,dtheta=sintheta|0^pi/2=1
Em varphi, usando u=sinvarphi, du=cosvarphi,dvarphi, quando varphi:0topi/2 tem u:0to1:
integral0^pi/2sin^2varphicosvarphi,dvarphi =integral0^1u^2,du=13

Passo 6

Multiplicando os resultados:
2435times1times13=24315=815

Resposta

815

Exercícios relacionados