Supondo que a função diferenciável y=f(x) é definida implicitamente pela equação dada. Determine sua derivada d yd x :
cos (x-y)=x e^y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
cos(x - y) = x e^y
e pede dydx. Isso é um caso clássico de diferenciação implícita, onde vamos usar a regra da cadeia para o lado esquerdo e a regra do produto mais cadeia para o lado direito.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo cos(x-y) em relação a x, aplicamos a regra da cadeia:
o externo gera -sin(x-y) e o interno (x - y)' é 1 - y'. Logo
ddxl[cos(x-y)r] = -sin(x-y),(1 - y')

Passo 3

Diferenciando o lado direito x e^y, usamos a regra do produto:
ddx[x]cdot e^y + xcdot ddx[e^y] = 1cdot e^y + xcdot e^y,y' = e^y + x e^y y'

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
-sin(x-y),(1 - y') = e^y + x e^y y'
Expandindo o lado esquerdo:
-sin(x-y) + sin(x-y),y' = e^y + x e^y y'

Passo 5

Agora agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
sin(x-y),y' - x e^y y' = e^y + sin(x-y)
Fatorando y':
y'l(sin(x-y) - x e^yr) = e^y + sin(x-y)
Por fim, isolamos y':
y' = e^y + sin(x-y)sin(x-y) - x e^y

Resposta

dydx = e^y + sin(x-y)sin(x-y) - x e^y

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